8 2 Orthogonal Polynomials L-S approximation 例:连续型拟合中,取q,(x)=x,p(x)≡1,y(x)∈C0,1 则(q,q)=「mxx!de Hilbert阵! i+j+1 若能取函数族={q(x),q1(x) 改进:使得任意一对qx)和q(x)两两(带权)正交 则B就化为对角阵! 这时直接可算出ak= (k, y) (Pk, PPK >正交多项式的构造: 将正交函数族中的列聊为阶多顺式,为简单起见,可取 q的首项系数为1。 anyway 有递推 q0(x)=1,q1(x)=(x-a1)q0(x) Pu()=(x-ak+ok (x)-Bk u(r) 证明略 关系式: 其中ak+1= (xφk,9) B (x, Pu p148-149 (x, P) (q4-1,9k-1)§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation 例：连续型拟合中，取 (x) x , (x) 1, y(x) C[0, 1] j  j =    则  + + = = 1 0 1 1 ( , ) i j x x dx i j i  j Hilbert阵！ 改进： 若能取函数族={ 0 (x), 1 (x), … , n (x), … }， 使得任意一对i (x)和j (x)两两（带权）正交， 则 B 就化为对角阵！ 这时直接可算出ak = ( , ) ( , ) k k k y    Well, no free lunch anyway… ➢ 正交多项式的构造： 将正交函数族中的k 取为k 阶多项式，为简单起见，可取 k 的首项系数为 1 。 有递推 关系式： ( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0 x = 1 x = x −1 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) k+1 x = x −k+1 k x −  k k−1 x 其中 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 1 1 1 − − + = = k k k k k k k k k k x           证明略 p.148-149