2 第四章对偶问题及对倡单纯形法 售价最大，即 maxD=20q1+692+10qg (4.4) 线性提划间题(1.1)、(1.2)和线性却划回题(1.3)、(1.4)之问右着密切的关系.实际上 这两个问题最优解的目标函数值相同（根据两个问题追求的目标，从直观上不难理解这 点)。 线性规划问题(1.3)和(1.4)就是原问题（线性规划问题(1.1）和(1.2)的对偶问题 实际上，对每一个线性规划问题都伴随着另一个线性规划问题，称为对偶问题。原来的线 性规划问题称为原始问题（或原问题）.值得说明的是，并不是对每一个线性规划问题（即 使是一个实际问题的对偶问题都可以象上面例题一样观地从经济上加以解释。 第二节建立对偶问题的规则 一、建立对偶问题的规则 比较线性规划问题(1.1)、(12)和线性规划问题(13)、(1.4)，不难发现原问题和对偶 可题之间的一些关系 一般地.如果原问题为如下形式的线性规划问题 maxz=CT1+C2x2十.，.+Cnxn 满足 a111+a122+…+a1mn≤b a21x1+022r2+..·+02mrn≤02 (1.5) aml1+am22+…+amnn≤br ≥0j=1,2,,n 则按照以下规则建立它的对偶问题： (一入、原问题和对偶问题的决策变量的意义不同，本书用：表示对偶问题的决策变 量 二)、如果原问题的目标函数是“max”应.则其约束条件方程必须是“<”形式.此 时对偶问题的目标函数是“mim”型，其约束条件方程全是“≥”形式.反之亦然.这就是 说，在建立对偶问题之前，原向题的约束方程中的不等号必须指向一律而且与追求目标函 数最大或最小相对应： (仨)、对偶问题的目标函数的系数是原问题约束条件方程的右端的值： (四)、对偶问题的系数矩阵为原向题的系数矩阵的转置矩阵 (伍五、对偶问题的约束条件方程的右端值是原问题目标函数中决策变量的系数；但 在建立对偶问题之前，若原问题的松地变量或多余变量的C;不为0，则将它看成实际变 量 根据以上规则，原问题(1.5)的对偶问题是 min w big1 +b292+...+bmqm2 Ö✳×✵ØÚÙ✒Û✳Ü✵Ý✒Þ✒Ù✒Û✒ß✒à✒á✳â ❒✒➩✒➀✒ã, ä max w = 20q1 + 6q2 + 10q3. (4.4) ✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.1)s (1.2) ❁✒✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.3)s (1.4) ✭✒❂✾ ❅✒❆✒❇★✒❈✒❉, ✙✒✚✒å ➣✒æ✷ ✸✒✹✒➀✒ç✒●✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➵✒❍ (é✒êæ✷ ✸✒✹✒ë❊ ★ Ò◆Ó, ✓✒ì✒íå✒➬✒î✔●➣✮ ï )✯ ✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.3) ❁ (1.4) ➾✒✘✒✼✒✸✒✹ (✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.1) ❁ (1.2)) ★✒✢✒✣✒✸✒✹✯ ✙✒✚✒å, ✢✒✶✮✒✷✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹✒✽✒ð✒ñ❅✒◗✒✮✒✷✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹, ✺✒✻óò✒ô✒õ✒ö✯ ✼✒÷✒★✒✤ ✥✒✦✒✧✒✸✒✹✒✺✒✻ùø✒ú✒õ✒ö (û✒ø✒õ✒ö)✯üè✒ý✒❴✳❵★✒✘, þ✒➬✒✘✒✢✒✶✮✒✷✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (ä ❿✒✘✮✒✷✙✒✚✒✸✒✹) ★✒✢✒✣✒✸✒✹✒✽✒ÿ✁￾✁✂✒å✖✒❣✹ ✮✁✄✒ì✒í✁☎✒✓✁✆✁✝å✁✞✁￾✒●✁✟✯ ❘✡✠❚❯ ☛✡☞❚❱❚❲❚❳❭❨❭❩✍✌✏✎ ✑s✓✒✁✔✒ò✒ô✒õ✒ö✁✕✁✖✁✗ ✘✚✙✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.1)s (1.2) ❁✒✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (1.3) s (1.4), ➬✒î✁✛➜✼✒✸✒✹✒❁✒✢✒✣ ✸✒✹✭✒❂★✮✁✜❈✒❉✯ ✮✁✢✁☎. ❼✁✣✒✼✒✸✒✹✒✻✒❼✒❢✁✤✁✥✒★✒✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹: max z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn ➙✒➛    a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2 . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n (4.5) →✁✦✁✧￾✒❢✒✦→✁★✁✩✁✪★✒✢✒✣✒✸✒✹: (✮ )s◆✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀❐✬✫✬✭❀➔❀★✬✮✰✯❀➬❍, ⑩✬✱❀✜ qi ②✬✲❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀❐✬✫✬✭ ➔; (✳)s◆❼✬✣❀✼❀✸❀✹❀★ Ò Ó❀Ô❀Õ✘ “max” ↕, →✰ ❮❀❰❀Ï❀Ð✕❀Ñ❹❀❺❀✘ “≤” ✤✬✥✯ ➧ ■✒✢✒✣✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✘ “min” ↕, ✰ ❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ✁✴✘ “≥ ” ✤✁✥✯✓✵✒✭✁✶✒✃✒✯ ➣ ➾✒✘ ❴ , ❄★✁✩✢✒✣✒✸✒✹✭✁✷, ✼✒✸✒✹✒★✒❮✒❰✕✒Ñ ❤✵★✒➬✒➻✁✸✒❹✒❺✁✹✳➪✮✁✺➷✁✻✿ë ❊▲Ò◆Ó✒Ô Õ ➀✒ã✁✼✒➀✒➁✒➵✒✢✒✛; (t)s⑧✢✒✣✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ★✒❉Õ ✘✒✼✒✸✒✹✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ★✁✽✁✾✒★è bi ; (✿)s⑧✢✒✣✒✸✒✹✒★✒❉Õ✁❀✁❁✻✒✼✒✸✒✹✒★✒❉Õ✁❀✁❁★✁❂✁❃❀✁❁; (❄)sü✢✒✣✒✸✒✹✒★✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ★✁✽✁✾è ✘✒✼✒✸✒✹ Ò◆Ó✒Ô✒Õ❤✵❐✁✫✁✭✒➔✒★✒❉Õ cj ; ❅ ❄★✬✩✢❀✣❀✸❀✹✭✬✷, ❆❀✼❀✸❀✹❀★✬❇✬❈✬✭❀➔✬✼✬❉✬❊✬✭❀➔❀★ cj ➬❀✻ 0, →✬❋✬✪✬●①❀✙❀✚✬✭ ➔ ✯ é✒ê✁￾✒å✒✦→ , ✼✒✸✒✹ (1.5) ★✒✢✒✣✒✸✒✹✒✘: min w = b1q1 + b2q2 + . . . + bmqm