下 31.2此问题极值 何谓由提极值所 由提取极值向必要条件所 今公下有关提短极值向密张 谓提短∫(x)在xo点取极、值弦指在x在xo点及其附|x-xo|<ε时弦恒有 f(x)≥f(xo) 而如果恒有 f(x)≤f(xo), 则称提短∫(x)在xo点取极大值 提短f(x)在xo点取极值(极极大)向必要条件在点向导短0弦 段 f(ro=0 被离 用同样向方有定义由提向极值 隔对 “在”提短段叭时抛提团取极义值”向含义题。对于极值找短v)及其“附间 向能提短y(x)+6y(x)弦恒有 够 Jy+8≥Jy 所谓提短y(x)+8(x)在另一提短y(x)向 弦指向 隔对 1.|y(x)<ε; 2.有时还要求|(Sy)(x)<E 移里向δy(x)称提短v(x)向分 被离设平 位 提短极值必要条件向导出面有弦导出由提取极值向必要条件 不上不失,其动假定弦所度虑向能提短均通过固定向两端点 y(x0)=a,y(x1)=b, 也 6y(x0)=0,y(x1)=0 度虑由提向值 +=/)1F(xy+8y+(-F(影 在提短向能分(x)足时弦酸将积提短在极值提短附作 Taylor展开弦于弦有 Jy+Syl-Jlyl 8y3+(Sy)'F +(by)Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 3 ☛ §31.2 ✖ ✗ ✘ ✷ ✸ • ✹✼✛✜✺❈ ✻ • ✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ✻ • ✽ ✾✿❇ ✞ ❉ ❜✜✬✺❈ ✱✴✵✲ ✻✼✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❀❈✢★✽❁ x ❁ x0 ✠❂❘❃❄ |x − x0| < ε ✓ ✢❅ ❉ f(x) ≥ f(x0); ❫ õö❅ ❉ f(x) ≤ f(x0), ➉ ■✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❆❈✲ ✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❈ (✺❀❇✺❆) ✱✼➐➣↔★❁✮✠✱➠✬✭ 0 ✢ f 0 (x0) = 0. • ✶✩ í❳➡✱❈❉✿❀✛✜✱ ✺❈✲ ❊❁✯✰✜✬✭ y(x) ✓ ✢✛✜ J[y] ➢ ✺❀❈❋ ✱➏❀✧★● ●❪✺❈✜✬ y(x) ❂ ❘ ❊ ❃❄❋ ✱✯✰✜✬ y(x) + δy(x) ✢❅ ❉ J[y + δy] ≥ J[y]. ✻✼✜✬ y(x) + δy(x) ❁➈❇✫✜✬ y(x) ✱ ❊ ❃❄❋✢ ✽✱★● 1. |δy(x)| < ε ➘ 2. ❉✓❍➐➑ |(δy) 0 (x)| < ε ✲ ✳➊✱ δy(x) ■✭✜✬ y(x) ✱ ■❏ ✲ • ✶✩❑▲✜✬✺❈ ✼➐➣↔✱➠✪▼❉ ✢ ➠ ✪✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✲ ❲◆❲❖P◗❘✥❙✿ ✢✻❚❯✱✯✰✜✬❱ ➌✔ ❲✿✱❳✫✕✠ y(x0) = a, y(x1) = b, ❩ δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. ❚❯✛✜✱❨ ❈ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F (x, y + δy, y0 + (δy) 0 ) − F(x, y, y0 ) i dx, ❁ ✜✬✱✯ï δy(x) ➓✫❀✓ ✢ ✶✩❩ ✶î✜✬❁ ✺❈✜✬❃❄✝ Taylor ❬❭✢❪★ ✢ ❉ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · ·  dx