则X/E(=X/~)是线性空间(称X/E是X关于E的商空间) (2)若X是线性赋范空间,E是X的闭线性子空间,则X/E是线性赋范空间 (3)若X是 Banach空间,E是X的闭线性子空间,则X/E是 Banach空间 证明1°对于任意的x∈X,x-x∈E,故x~x由于E是线性子空间,当x-y∈E E,则 (x-y)+(y-二) x~y,y~二时所以“~”是等价关系 记x={x+y,y∈EX/E={x∈x},并且规定 这些运算有确定的意义例如若X=x,=则x-x1∈E,y-y∈E,从而 (x+y)-(x1+y1)∈E,ax-ax1∈E, 是x+y=x+y1,ax=ax1.依照第1讲定义1可验证X/E是线性空间,其中o=E 2°对于每个x∈X/E,令 xl=inf‖y‖l (3) 则‖‖是X/E上的范数.实际上‖x心0,若x0,则习n∈x,yn→0,故yn-x=n∈E En=yn-x→-x,E闭,于是x∈E,x=E=0 对于每个x∈X/E, axl|=axl=inf‖ ayla inf‖yl=alI‖ 最后,x,j∈X/E,由定义,彐xn∈x,‖xn|A‖+-,同时yn∈y川yn|k4‖到+-,从 而xn+yn∈x+j并且 lx+y|‖xn+yn|x‖+‖yn|‖+‖y‖ n→ 得到 ‖x+j|‖x‖+‖j‖ 于是(3)定义了X/E上的范数 3°若X完备,E闭,{}是XE中的 Cauchy序列取2x,则彐n使当n≥n1时, 1,-正不妨设n单调增加记=x,则阿}是民的子序列并且一k是 从而由X/E中范数定义,存在∈E,使得 k 4=441-14+=4,则∑v∞,X完备,故彐v∈X使得lm∑v=”.令u=y+,现在则 X / E(= X / ~) 是线性空间 (称 X / E 是 X 关于 E 的商空间). (2)若 X 是线性赋范空间， E 是 X 的闭线性子空间，则 X / E 是线性赋范空间. (3)若 X 是 Banach 空间， E 是 X 的闭线性子空间，则 X / E 是 Banach 空间. 证 明 1° 对于任意的 x∈ X ，x − x∈ E ,故 x ~ x .由于 E 是线性子空间，当 x − y ∈ E 时 y − x∈ E ，故 x ~ y 则 y ~ x .若 x ~ y ∈ E ， y − z ∈ E ，则 x − z = (x − y) + ( y − z)∈ E ，故 x ~ y , y ~ z 时.所以“~”是等价关系. 记 x = { } x + y; y ∈ E , X / E = { } x; x∈ X ，并且规定 x + y = x + y ，αx =αx(α ∈Φ ) ，， 这些运算有确定的意义. 例如若 1 1 x = x , y = y 则 x − x1 ∈ E, y − y1 ∈ E ，从而 (x + y) − (x1 + y1)∈ E,αx −αx1 ∈ E ， 于是 1 1 1 x + y = x + y ,αx =αx . 依照第 1 讲定义 1 可验证 X / E 是线性空间，其中o = E . 2° 对于每个 x ∈ X / E ，令 || x || inf || y || y∈x = (3) 则|| ⋅|| 是 X / E 上的范数. 实际上|| x ||≥ 0 ,若|| x ||= 0，则 ∃ ∈ ,|| ||→ 0 n n y x y ，故 yn − x = zn ∈ E . z y x x n = n − → − ， E 闭，于是 x Ex E ∈ == , 0. 对于每个 x ∈ X / E ， || x || || x || inf || ay || | | inf || y || | | || x || y x y x α = α = = α = α ∈ ∈ . 最后， ∀x, y ∈ X / E ，由定义， n x x x x n n 1 ∃ ∈ ,|| ||<|| || + ，同时 n y y y y n n 1 ∃ ∈ ,|| ||<|| || + ，从 而 x y x y n + n ∈ + 并且 n x y x y x y x y n n n n 2 || + ||≤|| + ||≤|| || + || ||≤|| || + || || + , 令 n → ∞ ，得到 || x + y ||≤|| x || + || y || . 于是 (3) 定义了 X / E 上的范数. 3° 若 X 完备，E 闭，{ }n x 是 X / E 中的 Cauchy 序列. 取 k k 2 1 ε = ，则 k ∃n 使当 k n ≥ n 时， n nk k x x 2 1 || − ||< .不妨设 k n 单调增加. 记 nk k u = x ，则{un}是{xn }的子序列并且 k k k u u 2 1 || || +1 − < . 从而由 X / E 中范数定义，存在 zk ∈ E ，使得 k k k k u u z 2 1 || || +1 − + < . 记 k k k k v = u − u + z +1 ，则 ∑ ∞ = < ∞ 1 || || k k v . X 完备，故∃v∈ X 使得 ∑= →∞ = n k k n v v 1 lim . 令 1 u = v + u ， 现在