2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)期末考试试卷答案 L()=∏/(x)=∏ocx)-=0c"(x1x2…xn) 所以,hL()=nhO+mbhc-(+)∑hx 所以,4h(0)=+nhc-∑hx 令:hL(0)=0,即a+nhc-∑血x=0 得到似然函数的唯一驻点O Shox, c 所以参数的最大似然估计量为 In X.-In c 八。(本题满分10分) 设总体x~N(x1,a)总体Y~N(a2,a2),(x1,x2,…,xm)是从总体X中抽取的一 个样本,(F1,F2,…H)是从总体y中抽取的一个样本.并且随机变量 X. X Xm,H,Y2,…,Yn 相互独立,记S2是样本(X1,X2,…,Xn)的样本方差,S2是样本(1,H2,…,)的样本方 差.再设 (m-1)S2+(n-1)S2 m+n 证 是a2的无偏估计 解 由于总体Xx~M(4,o2),(x1,x2 Xn)是从总体X中抽取的一个样本,所以 又由于总体Y~N(2a2),(x1,Y2,…,Y)是从总体Y中抽取的一个样本,所以 第8页共9页2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）期末考试试卷答案 第 8 页 共 9 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 2 1 1 1 − + = − + = =  =  =        n n n n i i n i i L f x c x c x x x 所以， ( ) ( )= = + − + n i i L n n c x 1 ln  ln   ln  1 ln ． 所以， ( ) = = + − n i i n c x n L d d 1 ln ln ln    ． 令： ln ( ) = 0  L d d ，即 ln ln 0 1 + − = = n i i n c x n  ， 得到似然函数的唯一驻点 x c n n i i ln ln 1 − = =  ． 所以参数  的最大似然估计量为 X c n n i i ln ln ˆ 1 − = =  ． 八．（本题满分 10 分） 设总体 ( ) 2 1 X ~ N  ,  ，总体 ( ) 2 2 Y ~ N  ,  ， ( ) X X X m , , , 1 2  是从总体 X 中抽取的一 个样本， ( ) Y Y Yn , , , 1 2  是从总体 Y 中抽取的一个样本．并且随机变量 X X X m Y Y Yn , , , , , , , 1 2  1 2  相互独立．记 2 1 S 是样本 ( ) X X X m , , , 1 2  的样本方差， 2 2 S 是样本 ( ) Y Y Yn , , , 1 2  的样本方 差．再设 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 1 + − − + − = m n m S n S SW 证明： 2 WS 是 2  的无偏估计． 解： 由于总体 ( ) 2 1 X ~ N  ,  ，( ) X X X m , , , 1 2  是从总体 X 中抽取的一个样本，所以 ( ) ~ ( 1) 1 2 2 2 1 − − m m S   ． 又由于总体 ( ) 2 2 Y ~ N  ,  ，( ) Y Y Yn , , , 1 2  是从总体 Y 中抽取的一个样本，所以