得出h,故公式(21)的局部截断误差为O(h3),精度比向前Euer公式提高1阶 若取r=2,3…可以用类似的方法推导公式,如对于r=3有 yn+1=yn+,(55fn-59fm+37fm-2-9fm3) 其局部截断误差为O(h) 如果将上面代替被积函数f(x,y(x)用的插值公式由外插改为内插,可进一步减 小误差。内插法用的是yn+1,yn,…,yn=r,取r=1时得到的是梯形公式,取r=3时 可得 ymI=y,+(9fm1+195, -5fn-+f (23) 与(22)式相比,虽然其局部截断误差仍为O(h3),但因它的各项系数(绝对值)大 为减小,误差还是小了。当然,(23)式右端的fn+1未知,需要如同向后 Euler公式 样,用迭代或校正的办法处理。 §6一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 61一阶微分方程组的数值解法 设有一阶微分方程组的初值问题 ∫y=∫(x,y1,y2;…ym) y (a)=y (i=1,2,…,m) (24) 若记y=(y,y2…,yn),y=(y0,y20…,ym),∫=(f1,f2,…,fm),则初值 问题(24)可写成如下向量形式 ∫y=f(x,y) (25) y(a)=yo 如果向量函数f(x,y)在区域D: a≤x≤b, y∈R 连续,且关于y满足 Lipschitz条件,即存在L>0,使得对vx∈[a,b,y1,y2∈R", 都有 f(x,y)-f(x,y2)≤:-y2 那么问题(25)在[an,b]上存在唯一解y=y(x)。 问题(25)与(1)形式上完全相同,故对初值问题(1)所建立的各种数值解法可 全部用于求解问题(25) 62高阶微分方程的数值解法 高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一阶微分方程组初值问题 设有m阶常微分方程初值问题 ym)=f(x,y,y2…,ym-)a≤x≤b (26) yo,y'(a)=yo 引入新变量y1=y,y2=y,…,yn=ym),问题(26)就化为一阶微分方程初值问题-185- 得出 3 h ，故公式（21）的局部截断误差为 ( ) 3 O h ，精度比向前 Euler 公式提高 1 阶。 若取 r = 2,3,L可以用类似的方法推导公式，如对于 r = 3 有 (55 59 37 9 ) 24 n+1 = n + n − n−1 + n−2 − n−3 f f f f h y y （22） 其局部截断误差为 ( ) 5 O h 。 如果将上面代替被积函数 f (x, y(x)) 用的插值公式由外插改为内插，可进一步减 小误差。内插法用的是 1 1 , , , n+ n n−r+ y y L y ，取 r = 1时得到的是梯形公式，取 r = 3 时 可得 (9 19 5 ) 24 n+1 = n + n+1 + n − n−1 + n−2 f f f f h y y （23） 与（22）式相比，虽然其局部截断误差仍为 ( ) 5 O h ，但因它的各项系数（绝对值）大 为减小，误差还是小了。当然，（23）式右端的 n+1 f 未知，需要如同向后 Euler 公式一 样，用迭代或校正的办法处理。 §6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 6.1 一阶微分方程组的数值解法 设有一阶微分方程组的初值问题 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 1 2 ( ) ' ( , , , , ) i i i i m y a y y f x y y L y (i =1,2,L,m) （24） 若记 T m y ( y , y , , y ) = 1 2 L ， T m y ( y , y , , y ) 0 = 10 20 L 0 ， T m f ( f , f , , f ) = 1 2 L ，则初值 问题（24）可写成如下向量形式 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 ( ) ' ( , ) y a y y f x y （25） 如果向量函数 f (x, y) 在区域 D ： m a ≤ x ≤ b, y ∈ R 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在 L > 0 ，使得对∀x ∈[a,b]， m y1, y2 ∈ R ， 都有 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) ≤ L y − y 那么问题（25）在[a,b] 上存在唯一解 y = y(x) 。 问题（25）与（1）形式上完全相同，故对初值问题（1）所建立的各种数值解法可 全部用于求解问题（25）。 6.2 高阶微分方程的数值解法 高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一阶微分方程组初值问题。 设有m 阶常微分方程初值问题 ⎩ ⎨ ⎧ = = = = ≤ ≤ − − − ( 1) 0 (1) ( 1) 0 0 ( ) ( 1) ( ) , '( ) , , ( ) ( , , ', , ) m m m m y a y y a y y a y y f x y y y a x b L L （26） 引入新变量 ( 1) 1 2 , ', , − = = = m m y y y y L y y ，问题（26）就化为一阶微分方程初值问题