一些思想介绍 假设你有一个简单的问题,如: =xy,其中,v(0)=0 对于应用,你所感兴趣的是从t=0积分到t=lV的特性,对于这个问题,结果是 众所周知的 v(t)=voe (2) 但是,对于我们所关心的大多数问题,其精确的结果是不知道的,对于这种 问题用数值方法去近似求解就显得比较重要了。我们将在本课中研究这些复杂的 问题,但通常,我们能够通过一些简单而又典型的问题(如(1))学到很多有关 数值方法的特性 假设我们用一种简单的数值方法去解问题(1): =AV,其中:"=V(nAM)V°= (3) 这种方法通常称为向前欧拉方法,它是基于下面的近似: d|、F("+A)-(t") dt 为了了解向前欧拉方法有多么的精确和有效,我们可以算一下误差大小。特别地, 我们定义 V"≈v(t")≡v,0≤t≤T 这样,作为一种合理的误差估计: E(T)=(-)at 其离散化问题为 △ ,其中,T=N△ 对于一般问题,我们无法计算ν(的精确解),因此,我们无法具体知道E(T) 的特性。但是,对于这个问题我们可以。让我们举一个特例子并画出结果 例: =-1T=1000v=1一些思想介绍 假设你有一个简单的问题，如： dv v dt = λ ，其中， 0 v(0) = v （1） 对于应用，你所感兴趣的是从t = 0积分到 0 t t = v 的特性，对于这个问题，结果是 众所周知的: 0 ( ) t vt ve λ = （2） 但是，对于我们所关心的大多数问题，其精确的结果是不知道的，对于这种 问题用数值方法去近似求解就显得比较重要了。我们将在本课中研究这些复杂的 问题，但通常，我们能够通过一些简单而又典型的问题（如（1））学到很多有关 数值方法的特性。 假设我们用一种简单的数值方法去解问题（1）： n n 1 V V n V t λ + − = Δ ，其中： 0 0 ( ), n V Vnt V v = Δ = （3） 这种方法通常称为向前欧拉方法，它是基于下面的近似： ( )( n n n t dV V t t V t dt t +Δ − ≈ ) Δ 为了了解向前欧拉方法有多么的精确和有效，我们可以算一下误差大小。特别地， 我们定义： ( ) n n V vt v ≈ ≡ n ，0 ≤ t T ≤ 这样，作为一种合理的误差估计： 2 0 () ( ) T E T V v dt = − ∫ 其离散化问题为： 2 0 () ( ) N n n n E T tVv = =Δ − ∑ ，其中，T N= Δt 对于一般问题，我们无法计算v（的精确解），因此，我们无法具体知道 的特性。但是，对于这个问题我们可以。让我们举一个特例子并画出结果。 E T( ) 例： λ = −1 T =1000 0 v =1