图13.3 所以T(R)的面积为 dy=dx dy=I Ly(x, h)-y(x, g)]dx=((ui, h)-y(u, g))(f-e 其中e≤a≤∫。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 7(R)=x(,yh-8)f-e)=x(,p)mR= a(x,y) n d(u, v) 其中g<<h。 如果T的 Jacobi行列式为负的,以上讨论中关于y的不等式反向,重复以上 证明可同样得到 mT(R)_ax, n)/ mR d(u, v) 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立 引理2设T为本原映射,二元函数∫(x,y)在T(D)上连续,则 「(xy时up h 证 考虑上述对区域D的分割,设D,D2…,D,是包含在区域D内的所有小矩 形,由引理1,在D上成立 (D) x,y) D u,v)I 这里(G2,)为D中某一点。设x=x(1,),=y(1,),则从上式得 ∑f(,,m(D)=(x,)1,)(x,y)mD 设所有小矩形的对角线长度的最大值为p,令p趋于0,由二重积分的定义,即 f(x, y)dxdy=ll f(x(u,v),y(u, v) a(x, duds 证毕v h g O e f u y hxy ),( gxy ),( O e f x 图 13.3.9 所以T( ) R 的面积为 ),))(, ~(), ~ )( (()],(),([ ),( ),( )( RmT efguyhuydxgxyhxydydxdxdy f e hxy gxy f e RT == = − −= − ∫∫∫∫∫ 其中 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 eu f ≤ ≤ ~ mR vu vu yx mRvu v y efghvu v y RmT ) ~, ~( ),( ),( ) ~, ~())()( ~, ~()( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−− ∂ ∂ = ， 其中 。 gvh < < ~ 如果T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上 证明可同样得到 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 。 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设T 为本原映射，二元函数 在 上连续 yxf ),( T D)( ，则 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 证 考虑上述对区域 的分割，设 是包含在区域 内的所有小矩 形，由引理 1，在 上成立 DDD M ,,, D 21 L D Di i vu i m vu yx mT ii D D ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = ， 这里 为 中某一点。设 (~ ,~ u v ) i i ~ (~ ,~ ) , ~ (~ ,~ x xu v y yu v ) Di i ii i i = = i ，则从上式得 ∑ ∑ ∂ ∂ = i i vu iiii i ii i mD vu yx vuyvuxfDmTyxf ii ) ~, ~( ),( ),( )) ~, ~(), ~, ~(()() ~, ~ ( ， 设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ ，令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即 得 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 证毕 3