物理实验第22卷第3 或 题,由于实验题目丰富的物理思想和内涵,因而 n=皿:pg (2)受到参赛教师和学生的一致好评 2)单摆周期的精确测量 由(2)可知,只要测出m,V,P,v,r,就可以计算 用单摆测定重力加速度实验中的周期公式 出液体的粘度但该公式的导出,是依赖于斯托通常为 克斯公式的,而斯托克斯公式只适用于在无限 深广的液体中运动的球,但实验却不可能在这 样一种理想的环境中进行·通常只能用一只直但它只是一个近似公式,如果忽略单摆悬线的 径有限的量筒,装满液体让小球在液体中降质量以及空气浮力和阻力的影响并将摆球视 落.因此实验结果存在一定的偏差 为质点,则当幅角为θ3时,单摆振动周期的精 为了估计这种偏差的大小,可取直径d不确解应为 同的几种小球在同一个量筒中进行实验研究 T= To(1+si L.2旦.132.4旦 可以发现对不同直径的小球,由(2)式求出的n 是不一样的.这是因为容器壁对不同直径的小 球产生着不同的影响.而在无限深广的理想状式中76=2Tg,可以看出,上述(4)式仅是 态的液体中做实验则无论球的直径如何的(5)式的近似公式只有当幅角B等于零时才 值应总是相同的.实验表明小球的直径越小,能完全成立但是在研究单摆周期时如果要作 器壁对它的影响也就越小.于是,可以想象,当精确测量,就必须使摆动幅角趋于零,这是根本 小球的直径趋于零时,器壁对小球的影响亦将不可能实现的而运用外推法就可以帮助我们 趋于零.此时,量筒中的液体相对小球来说也实现这种理想的状况为此,可取(5)式的二级 就可理解为“无限深广”的液体了,但是直径趋近似则振动周期可表示为 于零的小球是无法实现的,此时如果运用外推 T=T0(1+sn2) (6) 方法,就可以帮助我们实现这种理想的状况担 必需寻找η和小球直径的依赖关系.理论分析 (5)式中 及以后各项的值很小,如 和实验证明,在不考虑量筒的深度对落球的影果θ<15时,则当忽略此项时,引起的周期测 响时,测量液体粘度门与量筒直径D及小球直量的相对偏差将小于0.005%因而在国<15° 径d有如下关系 时可认为了=Tsm2且+r0.又因为r与 hn(1+24) sm22成线性关系,所以只要测出不同幅角a (2)式测量得到的粘度从(3)式可看出n和d时的振动周期r,并以周期r为纵轴s2且 式中几是液体的真实粘度,η是用落球法,即由 成线性关系因此可以用不同直径的小球测出横轴,作出29图线,再进行线性外推,当 若干个n并以n为纵轴d为横轴作出d图2→0时,即可获得截距T,即幅角为零时的单 线,再进行线性外推·当d→0时,直线在纵轴摆周期.用这种方法测得的重力加速度准确度 上的截距就是液体真实的粘度·同样如果采用很高.在复旦大学物理实验室测得的重力加速 一系列直径不同的量筒,对同一直径的小球进度为9794/2.而上海地区重力加速度的标 行实验,运用外推法,亦可测得真实的粘度·实准值为97940和m/s,两者相差很小 验证实了上述推理,用最小二乘法可以证明n 和d具有良好的线性关系.该实验题曾作为第 结束语 届全国中学生物理奥林匹克竞赛设计性实验 将外推法运用于设计性实验在实验教学中 C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd All rights reserved.或 Γ= (m - V Θ) g 6Πv r (2) 由(2) 可知, 只要测出 m ,V , Θ, v , r, 就可以计算 出液体的粘度Ζ但该公式的导出, 是依赖于斯托 克斯公式的, 而斯托克斯公式只适用于在无限 深广的液体中运动的球, 但实验却不可能在这 样一种理想的环境中进行Ζ 通常只能用一只直 径有限的量筒, 装满液体, 让小球在液体中降 落Ζ 因此实验结果存在一定的偏差Ζ 为了估计这种偏差的大小, 可取直径 d 不 同的几种小球在同一个量筒中进行实验研究Ζ 可以发现对不同直径的小球, 由(2) 式求出的 Γ 是不一样的Ζ 这是因为容器壁对不同直径的小 球产生着不同的影响Ζ 而在无限深广的理想状 态的液体中做实验, 则无论球的直径如何, Γ的 值应总是相同的Ζ 实验表明, 小球的直径越小, 器壁对它的影响也就越小Ζ 于是, 可以想象, 当 小球的直径趋于零时, 器壁对小球的影响亦将 趋于零Ζ 此时, 量筒中的液体相对小球来说, 也 就可理解为“无限深广”的液体了Ζ 但是直径趋 于零的小球是无法实现的, 此时如果运用外推 方法, 就可以帮助我们实现这种理想的状况Ζ但 必需寻找 Γ和小球直径的依赖关系Ζ 理论分析 和实验证明, 在不考虑量筒的深度对落球的影 响时, 测量液体粘度 Γ与量筒直径D 及小球直 径 d 有如下关系 Γ= Γ0 (1+ 2. 4 d D ) (3) 式中 Γ0 是液体的真实粘度, Γ是用落球法, 即由 (2) 式测量得到的粘度Ζ 从(3) 式可看出, Γ和 d 成线性关系, 因此可以用不同直径的小球测出 若干个 Γ, 并以 Γ为纵轴, d 为横轴作出 Γ2d 图 线, 再进行线性外推Ζ 当 d →0 时, 直线在纵轴 上的截距就是液体真实的粘度Ζ 同样如果采用 一系列直径不同的量筒, 对同一直径的小球进 行实验, 运用外推法, 亦可测得真实的粘度Ζ 实 验证实了上述推理, 用最小二乘法可以证明 Γ 和 d 具有良好的线性关系Ζ 该实验题曾作为第 一届全国中学生物理奥林匹克竞赛设计性实验 题, 由于实验题目丰富的物理思想和内涵, 因而 受到参赛教师和学生的一致好评Ζ 2) 单摆周期的精确测量 用单摆测定重力加速度实验中的周期公式 通常为 T 0= 2Π L g (4) 但它只是一个近似公式Ζ 如果忽略单摆悬线的 质量以及空气浮力和阻力的影响, 并将摆球视 为质点, 则当幅角为 Ηm 时, 单摆振动周期的精 确解应为 T = T 0 (1+ 1 4 sin2 Ηm 2 + 1 2 2· 3 2 4 2 sin4 Ηm 2 + …) (5) 式中 T 0= 2Π lög , 可以看出, 上述(4) 式仅是 (5) 式的近似公式, 只有当幅角 Ηm 等于零时才 能完全成立Ζ但是在研究单摆周期时, 如果要作 精确测量, 就必须使摆动幅角趋于零, 这是根本 不可能实现的Ζ而运用外推法, 就可以帮助我们 实现这种理想的状况Ζ 为此, 可取(5) 式的二级 近似, 则振动周期可表示为 T ′= T 0 (1+ 1 4 sin2 Ηm 2 ) (6) (5) 式中 1 2 2 · 3 2 4 2 sin4 Ηm 2 及以后各项的值很小, 如 果 Ηm < 15°时, 则当忽略此项时, 引起的周期测 量的相对偏差将小于 01005% Ζ 因而在 Ηm < 15° 时, 可认为 T = T 0 4 sin2 Ηm 2 + T 0Ζ 又因为 T 与 sin2 Ηm 2 成线性关系, 所以只要测出不同幅角 Ηm 时的振动周期 T , 并以周期 T 为纵轴, sin2 Ηm 2 为 横轴, 作出 T 2sin2 Ηm 2 图线, 再进行线性外推, 当 Ηm→0 时, 即可获得截距 T 0, 即幅角为零时的单 摆周期Ζ 用这种方法测得的重力加速度准确度 很高Ζ 在复旦大学物理实验室测得的重力加速 度为 9. 794m ös 2 Ζ 而上海地区重力加速度的标 准值为 9. 79407m ös 2 , 两者相差很小Ζ 3 结束语 将外推法运用于设计性实验在实验教学中 物理实验 第 22 卷 第 3 期 52 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved