·42· 北京科技大学学报 第36卷 导热系数，W·m1·K-1:T为温度，K.由于喂线速度 式(3)~式(5)中：ī，为自喂线始至A1以液态形式溶 很快，A!线的升温熔化主要由径向导入的热量控 入钢液所用的时间，下文称之为A!熔化时间；Tu为 制，轴向上的导热可以忽略，即aT/z=0:假设热流 Al线半径，m;入u为A的导热系数，W·m1·K-1: 沿圆周方向对称并均匀分布，即aT/0=0,式(1)可 Cpu为Al的比热容，J·kg1·K-lPu为Al的密度， 写为 kgm3;TAu为Al的温度，K (2) 1.3钢壳数学描述 T=0,ro≤r<,T(r,T）=Th: (6) 本文假设钢液为纯物质，其凝固（或熔化）发生在其 熔点温度下，针对由凝固或熔化引起的潜热的释放 0<r<w≤r≤✉，8(Ar）=png 或吸收，即式(2)中的热源项S,本文采用温度补偿 (7) 法可进行处理 式中：Th为钢液的温度，K;入为钢壳的导热系数， T A线 钢壳 钢液 W·ml·Klp,为钢壳的密度，kg°m3;Cp.为钢壳 的比热容，Jkg1K T(r.g 1.4A1线/钢壳界面处数学描述 T(r,t) 0<T<Tr=oa=入.=7 (8) T ar R T.r.0 式中：Tm为自喂线始至Al线熔化且未溶入钢液所 →凝固前沿 A/钢壳 用时间，s;Tu和T.为Al线和钢壳在界面两侧的温 界面 度，K;R为Al线/钢壳界面上的界面热阻，m2·K· s(① W-1 图1凝固过程温度分布 Fig.1 Schematic diagram of temperature profiles in solidification 在A线/钢壳界面处，Al线受热膨胀，钢液凝 process 固收缩，两者无法完全接触.相关研究发现，二 者之间会形成气隙，其界面热阻R的值在1.9× 当低温的A!线以较快速度喂入到高温的钢液 10-4~9.1×10-4m2,KW-1之间.本文中界面热阻 中时，A!线附近钢液因骤冷而凝固，迅即在A1线外 层结出一层较薄的钢壳，其厚度取决于该层钢壳与 R取值2.8×10-4m2·KW-.由界面热阻特性可 钢液间的对流换热.图1为这一过程中A!线、凝固 知，当A1线熔化时，界面热阻消失，即 钢壳及外部钢液的温度分布示意图.原点处为A! Tm≤r≤T1r=T0,R=0,Ta=TiN (9) 线线芯位置，横轴r代表径向上到线芯的距离，纵轴 1.5凝固前沿数学描述 T为温度；Tu(r,T)为r时刻，距线芯距离r处Al T=0,s(r）=ra: (10) 线的温度；Tu和T为Al线和钢壳在界面两侧的温 0<T<T,r=s(T),T (r,T)=T(r,T)=Tm; 度：T(r,T)为T时刻，距线芯距离，处钢壳的温 (11) 度；T(r,T)为T时刻，距线芯距离r处外部钢液的 温度；钢包内充满初始温度为T的钢液，T高于 0<r<T,T=s(r), 其熔点Tm·Al线初始半径为r,温度为室温，进入 =pth(-7). at 钢液后，钢液在A1线表面迅速结壳，随着凝固的进 行，凝固前沿s()不断向前推进.其熔化过程与凝 (12) 固过程相反，不再赘述 式(12)中：△H为凝固潜热，J·kg1;h为对流换热 1.2Al线数学描述 系数，Wm2K 0<T<T,0≤r<Tu' 1.6对流换热系数的计算 （a留）=p器 !线表面与钢液间对流换热系数由下式因 (3) 得到： 0<r<T,r=0,aT/r=0: (4) Nu =0.0296Re08 Pro.33, (13) T=0,0≤r<0,Tu(r,T）=298K (5) Wu=hx/入， (14)北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 导热系数，W·m － 1 ·K － 1 ; T 为温度，K． 由于喂线速度 很快，Al 线的升温熔化主要由径向导入的热量控 制，轴向上的导热可以忽略，即T / z = 0; 假设热流 沿圆周方向对称并均匀分布，即T / θ = 0，式( 1) 可 写为 1 r   ( r λr T  ) r + S = ρcp T τ ． ( 2) 本文假设钢液为纯物质，其凝固( 或熔化) 发生在其 熔点温度下，针对由凝固或熔化引起的潜热的释放 或吸收，即式( 2) 中的热源项 S，本文采用温度补偿 法［3］进行处理． 图 1 凝固过程温度分布 Fig． 1 Schematic diagram of temperature profiles in solidification process 当低温的 Al 线以较快速度喂入到高温的钢液 中时，Al 线附近钢液因骤冷而凝固，迅即在 Al 线外 层结出一层较薄的钢壳，其厚度取决于该层钢壳与 钢液间的对流换热． 图 1 为这一过程中 Al 线、凝固 钢壳及外部钢液的温度分布示意图． 原点处为 Al 线线芯位置，横轴 r 代表径向上到线芯的距离，纵轴 T 为温度; TAl ( r，τ ) 为 τ 时刻，距线芯距离 r 处 Al 线的温度; TiAl和 Tis为 Al 线和钢壳在界面两侧的温 度; Ts( r，τ ) 为 τ 时刻，距线芯距离 r 处钢壳的温 度; Tl ( r，τ ) 为 τ 时刻，距线芯距离 r 处外部钢液的 温度; 钢包内充满初始温度为 Tbath的钢液，Tbath高于 其熔点 Tm ． Al 线初始半径为 r0，温度为室温，进入 钢液后，钢液在 Al 线表面迅速结壳，随着凝固的进 行，凝固前沿 s( τ) 不断向前推进． 其熔化过程与凝 固过程相反，不再赘述． 1. 2 Al 线数学描述 0 ＜ τ ＜ τt，0≤r ＜ rAl， 1 r   ( r λAlr T  ) r = ρAlcp，Al T τ ; ( 3) 0 ＜ τ ＜ τt，r = 0，T / r = 0; ( 4) τ = 0，0≤r ＜ r0，TAl ( r，τ) = 298 K． ( 5) 式( 3) ～ 式( 5) 中: τt为自喂线始至 Al 以液态形式溶 入钢液所用的时间，下文称之为 Al 熔化时间; rAl为 Al 线半径，m; λAl 为 Al 的导热系数，W·m － 1 ·K － 1 ; cp，Al为 Al 的比热容，J·kg － 1 ·K － 1 ; ρAl为 Al 的密度， kg·m － 3 ; TAl为 Al 的温度，K． 1. 3 钢壳数学描述 τ = 0，r0≤r ＜ ∞ ，Tl ( r，τ) = Tbath ; ( 6) 0 ＜ τ ＜ τt，r0≤r≤s( τ) ，1 r   ( r λsr T  ) r = ρscp，s T τ ． ( 7) 式中: Tbath为钢液的温度，K; λs为钢壳的导热系数， W·m － 1 ·K － 1 ; ρs为钢壳的密度，kg·m － 3 ; Cp，s为钢壳 的比热容，J·kg － 1 ·K － 1 ． 1. 4 Al 线/钢壳界面处数学描述 0 ＜ τ ＜ τm，r = r0，λAl T r = λs T r = Tis － TiAl Ｒ ． ( 8) 式中: τm 为自喂线始至 Al 线熔化且未溶入钢液所 用时间，s; TiAl和 Tis为 Al 线和钢壳在界面两侧的温 度，K; Ｒ 为 Al 线/钢壳界面上的界面热阻，m2 ·K· W － 1 ． 在 Al 线/钢壳界面处，Al 线受热膨胀，钢液凝 固收缩，两者无法完全接触． 相关研究［4--5］发现，二 者之间会形成气隙，其界面热阻 Ｒ 的值在 1. 9 × 10 － 4 ～ 9. 1 × 10 － 4 m2 ·K·W － 1 之间． 本文中界面热阻 Ｒ 取值 2. 8 × 10 － 4 m2 ·K·W － 1 ． 由界面热阻特性可 知，当 Al 线熔化时，界面热阻消失，即 τm≤τ≤τt，r = r0，Ｒ = 0，Tis = TiAl ． ( 9) 1. 5 凝固前沿数学描述 τ = 0，s( τ) = r0 ; ( 10) 0 ＜ τ ＜ τt，r = s( τ) ，Ts( r，τ) = Tl ( r，τ) = Tm ; ( 11) 0 ＜ τ ＜ τt，r = s( τ ( ) ， λs T  ) r bath，shell = ρsΔHf s( τ) t + h( Tbath － Tm ) ． ( 12) 式( 12) 中: ΔHf 为凝固潜热，J·kg － 1 ; h 为对流换热 系数，W·m － 2 ·K － 1 ． 1. 6 对流换热系数的计算 Al 线表面与钢液间对流换热系数由下式［6］ 得到: Nu = 0. 0296Ｒe 0. 8 Pr 0. 33 ， ( 13) Nu = hx /λ， ( 14) ·42·