第6讲紧性与连续映射 教学目的:掌握紧集的概念与基本属性 授课要点: 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划 2、紧集在连续映射下的特性。 3、某些空间中紧子集的特征。 我们称集族{B2;∈4}覆盖A,若∪B2=A 定义1设X是度量空间,AcX (1)称A是紧的,若Ⅹ中的任一开集族覆盖A时,其中存在有限个开集仍覆盖A (2)A称为是相对紧的,若A紧 (3)称EcX是A的E网,若∪O(x,E)=A (4)称A是完全有界的,若VE>0,X中存在由有限个元素构成的A的E网 注意,在定义1(3)中,作为A的E网的集合E,并没有要求EcX.对于一个集 合来说,是否要求EcX并不改变其完全有界性 首先让我们来看一个例子 对于X=(2,若en=(0,…0.10,…),则‖enl2=1.令A={enn≥1},则A不是紧集.实 际上,切m≠n,en-√2.若取B,=On,则B,n21是A的开覆盖.但由于 每个B只包含一个en,故其中不包含任何有限子族覆盖A.注意A是C2中的有界集,由于 A中不存在 Cauchy序列,所以它还是闭集 此例告诉我们在无穷维空间情况,有界闭集并不一定是紧集,其中每个无穷序列也不必 有收敛的子序列.换句话说在无穷维空间, bolzano- Weierstrass定理并不成立 思考题 (1)证明定义1(4)下面“注意”中所说的事实。第 6 讲 紧性与连续映射 教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。 授课要点： 1、 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。 2、 紧集在连续映射下的特性。 3、 某些空间中紧子集的特征。 我们称集族{ ;λ Λ} Bλ ∈ 覆盖 A ，若 B ⊃ A. ∈ λ λ Λ ∪ 定义 1 设 X 是度量空间， A ⊂ X ． （1）称 A 是紧的，若 X 中的任一开集族覆盖 A 时，其中存在有限个开集仍覆盖 A ． （2） A 称为是相对紧的，若 A 紧． （3）称 E ⊂ X 是 A 的ε 网，若 O x A x E ⊃ ∈ ∪ ( ,ε ) ． （4）称 A 是完全有界的，若 ∀ε > 0 ， X 中存在由有限个元素构成的 A 的ε 网． 注意，在定义 1（3）中，作为 A 的ε 网的集合 E ，并没有要求 E ⊂ X ． 对于一个集 合来说，是否要求 E ⊂ X 并不改变其完全有界性． 首先让我们来看一个例子． 对于 2 X = A ，若 (0  ,",0 ,1,0,") n n e = ，则|| en ||2 =1．令 A = {e ;n ≥ 1} n ，则 A 不是紧集．实 际上，∀m ≠ n ，|| em − en ||= 2 ．若取       = 2 1 , n n B O e ，则{B ,n ≥ 1} n 是 A 的开覆盖．但由于 每个 Bn 只包含一个 n e ，故其中不包含任何有限子族覆盖 A ．注意 A 是 2 A 中的有界集，由于 A 中不存在 Cauchy 序列，所以它还是闭集． 此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必 有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间，Bolzano-Weierstrass 定理并不成立． 思考题 （1） 证明定义 1（4）下面“注意”中所说的事实