第38卷第6期 力学进展 Vol 38 No 6 008年11月25日 ADVANCES IN MECHANICS Nov.25.2008 网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展 方锦清↑李永 中国原子能科学研究院,北京102413 摘要复杂网络的理论模型研究一直是网络科学的最重要课题之一.首先概述网络科学理论发展史上的3 个里程碑以及有权演化网络的发展概况。为了全面反映确定性与随机性混合的真实世界的统一性、多样性和 复杂性,使网络理论模型更加接近实际网络的全面特性,着重评述近年来发展的统一混合网络理论模型的3部 曲:和谐混合择优模型、统一混合网络模型和统一混合变速増长网络模型,总结和评述了混合理论模型3部曲 的不同特点和相互联系,揭示了统一混合网络的复杂性与普适性及其错综复杂的转变关系.最后指出,该理论 在多层次高科技网络等实际网络中的应用前景 关键词网络科学,统一混合网络理论模型3部曲,复杂性,普适性,小世界,无标度 1引言 们成功地揭示了随机网络的许多重要性质都是随 着网络规模的增大突然涌现的,ER理论对于网络 正如美国最有影响的科学家之一E.O.Wi-科学理论的影响长达40年之久爱多士被誉为20 som指出:“今天最大的挑战性,不仅是细胞生物世纪的欧拉,并于1984年获得沃尔夫奖.确实,用 学和生态学,而是科学的所有方面,特别是如何精图论的语言和符号精确简洁地描述各种网络,为 确地和完全地描述复杂系统.至少在数学模数学家和物理学家等提供了描述网络的共同语言 型方面必须抓住整个系统的关键性质.”因此,复和研究平台,至今仍然是网络科学研究的有力方 杂网络中理论模型的研究成为最富挑战性的问题法之 之一.网络科学中理论模型的研究一直是最重要 直到20世纪末科学家迎来了网络科学又 的课题之一,它的发展历史至今经历了3个里程 次突破性进展,1998年首先冲破了ER理论的 碑,当中每个无一不是从理论模型取得突破的第是美国康奈尔(Come)学Watt和 Strogatz,他 1个里程碑当属图论的诞生,归功于图论之父欧拉们提出了小世界( small world,sw)网络模型及其 的开创性贡献,“图论”最早出现在欧拉1736年的随后的改进小世界模型-10.接着,199年美国 论著中,他首先解决了著名的柯尼斯堡七桥问题圣母( Notre dame)大学 barabasi与 Albert提出 和多面体的欧拉定理,从此开创了图论”这门了一个无标度( (scale-free,SF)网络模型11,发 新的数学分支叫,这就是第1代科学家树起网络现了复杂网络的无标度性质,200年 Barabasi与 科学的第1个里程碑,也是拓扑学的“先声因 Newmann及Wats共同主编了《网络的结构与动 此,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、力学》专著,在国际上产生了广泛的影响,对网 四色问题等成为拓扑学发展史上的著名问题 络科学作出了杰出的贡献,因此, Barabasi于2006 第2个里程碑是两位匈牙利著名的数学家年获得了美国 von neumann(冯·纽曼)计算金奖. Edos(爱多士)和 Renyi,他们在20世纪50年代末上述小世界效应和无标度特性等发现标志着网络 和60年代建立了著名的随机图理论例,用相对简科学发展的第3个里程碑,表明网络无处不在,并 单的随机图来描述网络,简称ER随机图理论,他具有普遍的规律,由此诞生了一门广泛交叉的新 收稿日期:2008-06-30,修回日期:2008-07-10 国家自然科学基金重点基金(70431002),面上基金(0874087)和理论物理专项基金(10647001)资助项目 E-mail: fjq9601第 38 卷 第 6 期 力 学 进 展 Vol. 38 No. 6 2008 年 11 月 25 日 ADVANCES IN MECHANICS Nov. 25, 2008 网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展* 方锦清 † 李 永 中国原子能科学研究院, 北京 102413 摘 要 复杂网络的理论模型研究一直是网络科学的最重要课题之一. 首先概述网络科学理论发展史上的 3 个里程碑以及有权演化网络的发展概况. 为了全面反映确定性与随机性混合的真实世界的统一性、多样性和 复杂性, 使网络理论模型更加接近实际网络的全面特性, 着重评述近年来发展的统一混合网络理论模型的 3 部 曲: 和谐混合择优模型、统一混合网络模型和统一混合变速增长网络模型, 总结和评述了混合理论模型 3 部曲 的不同特点和相互联系, 揭示了统一混合网络的复杂性与普适性及其错综复杂的转变关系. 最后指出, 该理论 在多层次高科技网络等实际网络中的应用前景. 关键词 网络科学, 统一混合网络理论模型 3 部曲, 复杂性, 普适性, 小世界, 无标度 1 引 言 正如美国最有影响的科学家之一 E. O. Wil￾son 指出 [1]: “今天最大的挑战性, 不仅是细胞生物 学和生态学, 而是科学的所有方面, 特别是如何精 确地和完全地描述复杂系统. . . . . . .至少在数学模 型方面必须抓住整个系统的关键性质. ” 因此, 复 杂网络中理论模型的研究成为最富挑战性的问题 之一. 网络科学中理论模型的研究一直是最重要 的课题之一, 它的发展历史至今经历了 3 个里程 碑, 当中每个无一不是从理论模型取得突破的. 第 1 个里程碑当属图论的诞生, 归功于图论之父欧拉 的开创性贡献, “图论” 最早出现在欧拉 1736 年的 论著中, 他首先解决了著名的柯尼斯堡七桥问题 和多面体的欧拉定理 [2] , 从此开创了 “图论” 这门 新的数学分支 [1] , 这就是第 1 代科学家树起网络 科学的第 1 个里程碑, 也是拓扑学的 “先声”. 因 此, 关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、 四色问题等成为拓扑学发展史上的著名问题. 第 2 个里程碑是两位匈牙利著名的数学家 Edos(爱多士) 和 Renyi, 他们在 20 世纪 50 年代末 和 60 年代建立了著名的随机图理论 [3] , 用相对简 单的随机图来描述网络, 简称 ER 随机图理论, 他 们成功地揭示了随机网络的许多重要性质都是随 着网络规模的增大突然涌现的, ER 理论对于网络 科学理论的影响长达 40 年之久. 爱多士被誉为 20 世纪的欧拉, 并于 1984 年获得沃尔夫奖. 确实, 用 图论的语言和符号精确简洁地描述各种网络, 为 数学家和物理学家等提供了描述网络的共同语言 和研究平台, 至今仍然是网络科学研究的有力方 法之一. 一直到 20 世纪末科学家迎来了网络科学又 一次突破性进展, 1998 年首先冲破了 ER 理论的 是美国康奈尔 (Cornell) 大学 Watts 和 Strogatz, 他 们提出了小世界 (small world, SW) 网络模型及其 随后的改进小世界模型 [4∼10] . 接着, 1999 年美国 圣母 (Notre Dame) 大学 Barab´asi 与 Albert 提出 了一个无标度 (scale-free, SF) 网络模型 [11∼14] , 发 现了复杂网络的无标度性质, 2006 年 Barab´asi 与 Newmann 及 Watts 共同主编了《网络的结构与动 力学》专著 [15] , 在国际上产生了广泛的影响, 对网 络科学作出了杰出的贡献, 因此, Barab´asi 于 2006 年获得了美国 von Neumann(冯 · 纽曼) 计算金奖. 上述小世界效应和无标度特性等发现标志着网络 科学发展的第 3 个里程碑, 表明网络无处不在, 并 具有普遍的规律, 由此诞生了一门广泛交叉的新 收稿日期 : 2008-06-30, 修回日期 : 2008-07-10 ∗ 国家自然科学基金重点基金 (70431002), 面上基金 (60874087) 和理论物理专项基金 (10647001) 资助项目 † E-mail: fjq96@126.com