第二章多元函数微分法 af(uo, vo )au(xo, yo) df(uo, vo)av(xo, yo) (x0,y0) ax uo, vo)auxo, yo), af(uo, vo)av(o, yo) 证明 ·因为函数f(u,y)在(ao,°0)处可微, A=f(u+△,v+Av)-f(l2°0) =△+△v+0(Pm) 其中pn=√(△)2+(△v)2 其中,pn=√(△x)2+(△y) 求的两个偏导数 △-=(xny3)=(xn+△x,y0)-=(xy) △+ f △v+o() r△+y△ (△n)2+(△A)2 △x (o, yo)a au. a a a ax aax 理可证: af au a a aay a a 由对u,v的偏导数和a,v对x,y偏导数的连续性可推知,z对 xy两个偏导数创连续性,从而证明了的可微性 (三),两点说明 关于复合函数求导公式的条件:在证明复合函数求导公式时,定 理用的条件是所给函数偏导数连续,即满足函数是C的条件:当 然可以用比较宽松,但实际上无用的条件:所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义,其证明过程长一点,但也没大的难度。 关于复合函数求导公式的矩阵表示 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式 (1)二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 (x,y) 则有 第三节复合函数微分法第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) x v x y v f u v x u x y u f u v x z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( ) y v x y v f u v y u x y u f u v y z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   证明: ⚫ 因为函数 f (u,v) 在 ( , ) 0 0 u v 处可微， ( , ) ( , ) 0 0 z = f u + u v + v − f u v = ( ) o uv v v f u u f     +   +  = ( ) o uv v v f u u f     + 1   +  其中 2 2 ( u) ( v)  uv =  +  其中， 2 2 ( x) ( y)  xy =  +  ⚫ 求的两个偏导数: ( ) ( ) ( ) x z x x y z x y x z x y x  +  − =   0 0 0 0 0 0 , , , = ( ) x v o v f u u f uv   +   +     1 = ( ) x o x v v f x u u f uv  +    +       1 ( ) x o uv   1 = ( ) x u v o   +  2 2 ( ) ( ) 1 = (1) 0 0 2 2  ⎯⎯⎯→         +        x→ x v x u o ( ) x z x y   0 0 , = ( ) x z x y x x    → 0 0 0 , lim = x v v f x u u f    +      同理可证： ( ) y z x y   0 0 , = ( ) y z x y y y    → 0 0 0 , lim = y v v f y u u f    +      ⚫ 由 z 对 u, v 的偏导数和 u, v 对 x, y 偏导数的连续性可推知, z 对 x, y 两个偏导数创连续性，从而证明了 z 的可微性。 (三) ，两点说明 ⚫ 关于复合函数求导公式的条件：在证明复合函数求导公式时，定 理用的条件是所给函数偏导数连续，即满足函数是 1 C 的条件；当 然可以用比较宽松, 但实际上无用的条件：所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义，其证明过程长一点，但也没大的难度。 ⚫ 关于复合函数求导公式的矩阵表示： 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式: (1) 二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 ( ) ( )  ( )   = = = v v x y u u x y z f u v , , , , 则有：