四、(15分)方法一代入 Bessel函数的级数表达式直接积分 e Jo(r)r dr Gm(2)/ea'p2antidr =(1) et dt Ly=)"(1) (3分) 逐项积分 (2分) 利用r函数计算积分 (5分) 求和 (5分) 方法二含参量积分法,令 (6)=/e-ar Jo(br)rdz e Ji( z): dr I(b)=Aexpi-4c 其中A=I(0)=1/2a.故 Jo(a)rdx=I(1)=aexp 方法的正确选择 (3分) 导出I(b)的微分方程 (4分) 解微分方程 (4分) 利用特殊值定积分常数 (2分) 求出所求积分 (2分)❝✱ (15 ✲) ✸❩✰ ❞❡ Bessel ▲❉✷❢❉❱❣❊❤✐❥✲ Z ∞ 0 e −αx2 J0(x) x dx = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n Z ∞ 0 e −αx2 x 2n+1 dx = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n 1 2 Z ∞ 0 e −αt t n dt = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n+1 n! αn+1 = 1 2α X∞ n=0 (−) n n!  1 4α n = 1 2α e −1/4α ✸❩✷❳❨❦❧ (3 ✲) ♠♥❥ ✲ (2 ✲) ♦♣ Γ ▲❉qr❥✲ (5 ✲) s t (5 ✲) ✸❩✳ ✉✈✶ ❥ ✲❩✇① I(b) = Z ∞ 0 e −αx2 J0(bx) x dx ② I 0 (b) = − Z ∞ 0 e −αx2 J1(bx) x 2 dx = 1 2α e −αx2 x J1(bx)    ∞ 0 − b 2α Z ∞ 0 e −αx2 J0(bx) x dx = − b 2α I(b) ❙❚ I(b) = A exp  − b 2 4α  , ③④ A = I(0) = 1/2α ✇⑤ Z ∞ 0 e −αx2 J0(x) x dx = I(1) = 1 2α exp  − 1 4α  . ✸❩✷❳❨❦❧ (3 ✲) ⑥⑦ I(b) ✷❜✲✸✹ (4 ✲) ❅ ❜✲✸✹ (4 ✲) ♦♣❄⑧❀❇❥✲⑨❉ (2 ✲) s⑦❙s❥✲ (2 ✲) 15