·750· 智能系统学报 第16卷 后，近似集在不同对象下的概率变化关系，有了 若对象x∈U-(x),那么由定理4可得到 这种变化作为基础，接下来可以很容易得到邻域 P(Y-16 (x))=P(Yl64(x))<a 决策粗糙集上下近似的增量式更新。 即x年N(Y-)。 定理5设邻域型信息系统IS=(U,AT),邻域 因此只需要计算对象集(U-Wa(Y)n 半径为6。对于X,YsU关于属性集AsAT的邻 (⊙(x)-{x)中的对象便可以完成近似集的增量 域决策粗糙下近似分别为Nm(X)和Na(Y)。当 式更新，即计算x∈(x)-{x}-N(Y),因此 信息系统论域U移除对象x且x∈U,新的邻域 2)成立。 型信息系统表示为IS=(U=U-{x,AT)。若 定理5证明完毕。 X,Y≤U且X=X-{x,Y=Y,那么X,Y关于 定理5表明，当邻域型信息系统移除一个对 属性集ASAT的邻域决策粗糙下近似增量式更 象x后，新的邻域决策粗糙下近似集变化也呈现 新为 一定的规律，例如从Y(X)更新至N(X),其 1)N(X-)=N(X)-IxE N(X) 近似集是减小的，并且减少的对象只来源于一小 (6(x)-{rlP(X6(x)≤a 部分对象集，因此只需对这里面的对象进行概率 2)N(Y-)=N(YU P(Xl6(x》的计算，便可得到最终的更新结果。 IxE60(x)-x)-N (Y)P(Y-180 (x)>a) 同样地对于Y(Y)更新至N(Y),也只需对一 证明1)对于Yx∈N(X),要么x∈(x), 小部分对象进行相关计算便可以完成最终更新。 要么xeU-(xr)。若对象满足x∈以(xr)-{x, 所以定理5所示的下近似集增量式更新方法具有 那么由定理4可以得到 较高的计算效率。类似于定理5的研究方法，接 P(X16(x)≤PX6(x) 下来可以进一步得到上近似集的增量式更新。 由于P(X6(x)>a,则无法直接确定PX-6(x) 定理6设邻域型信息系统IS=(U,AT),邻域 与a的关系。即x∈a(X)且x∈6(x)-{x, 半径为6。对于XYSU关于属性集ASAT的邻 需要计算PX6g(x)的值。 域决策粗糙上近似分别为N(X和N”(Y).当 若对象满足x∈U-(x),那么由定理4可以 信息系统论域U移除一个对象x,x∈U,新的邻 得到P(X6g(x)=PX6(x)>a,因此x∈Na() 域型信息系统表示为S=(U=U-{x,AT)。若 且x∈U-(x)都有x∈(X) X,Y∈U且X=X-{x1,Y=Y,那么X、Y关于 对于Yx∈U-N(X),若对象满足x∈6(x)- 属性集A二AT的邻域决策粗糙上近似增量式更 {x1,那么由定理4可以得到 新为 P(X16(x)≤P(X6(x)≤a. 1N)=NX)-xEN 因此Yx∈U-Na(X)且x∈(x)-x}都有 (6(x)-x川P(X-6(x)<\ xN(X-). 若对象满足x∈U-洲(x),那么由定理4可以得 2)N(Y-)=N(Y)U 到PX6g(x)=P(X6(x)≤。因此Yx∈U-Na(X) xe6)-1-N"YPY6m)≥B 且x∈U-(x)都有x生Y(X)。综合起来 证明1)根据定理5的证明结果，对于 Yx∈U-Na()都满足xW(X-),则(I)成立。 xeU-N(X)都满足xEN(X)。而对于 2)对于Yx∈W(),若对象满足x∈(x)- xeN(X且xU-x)都有x∈N(X),只 (x1,那么由定理4可以得到 有当Yx∈N(X)且x∈6x)-{x)时，PX6(x) P(Y-1 (x))>P(Y164(x))>a 与之间的大小关系不能直接确定，因此定理 若对象满足x∈U-(x),那么由定理4可以 6中的1)得到证明。 得到 2)根据定理5的证明结果，对于VxeN(Y) P(Y-1(x))=P(Y1(x))>a 都有xeN(Y)。对于xEU-N(Y)且 因此x∈(Y)都有x∈N(Y-)。 xEU-以)时，都有xEN(Y),只有当 对于Yx∈U-(Y),若对象满足x∈(x)- rxeU-N()且xe6x)-{1时，不能直接确 {x},那么由定理4可以得到 定P(Y(x)与a之间的大小关系，因此定理 P(Y16g(x)>P(Y16(x),P(Y16以(x)≤a 6中的2)得到证明。 此时不能直接确定P(Yg(x)与α之间的 定理6与定理5类似，只需要在原先上近似 关系。 集NX)和N(的结果上，进一步对)后，近似集在不同对象下的概率变化关系，有了 这种变化作为基础，接下来可以很容易得到邻域 决策粗糙集上下近似的增量式更新。 IS = (U,AT) δ X,Y ⊆ U A ⊆ AT N (α,β) A (X) N (α,β) A (Y) U x − x − ∈ U IS− = (U − = U − {x − },AT) X − ,Y − ⊆ U − X − = X − {x − } Y − = Y X − ,Y − A ⊆ AT 定理 5 设邻域型信息系统 ，邻域 半径为 。对于 关于属性集 的邻 域决策粗糙下近似分别为 和 。当 信息系统论域 移除对象 且 ，新的邻域 型信息系统表示为 。 若 且 , ，那么 关于 属性集 的邻域决策粗糙下近似增量式更 新为 1)N (α,β) A (X − ) = N (α,β) A (X)− {x ∈ N (α,β) A (X)∩ (δ U A (x − )− {x − })|P(X − |δ U − A (x)) ⩽ α} 2)N (α,β) A (Y − ) = N (α,β) A (Y)∪ {x ∈ δ U A (x − )− {x − } −N (α,β) A (Y)|P(Y − |δ U − A (x) > α} ∀x ∈ N (α,β) A (X) x ∈ δ U A (x − ) x ∈ U −δ U A (x − ) x ∈ δ U A (x − )− {x − } 证明 1) 对于 ，要么 ， 要么 。若对象满足 ， 那么由定理 4 可以得到 P(X − |δ U − A (x)) ⩽ P(X|δ U A (x)) P(X|δ U A (x)) > α P(X − |δ U − A (x)) α ∀x ∈ N (α,β) A (X) x ∈ δ U A (x − )− {x − } P(X − |δ U − A (x)) 由于 ，则无法直接确定 与 的关系。即 且 ， 需要计算 的值。 x ∈ U −δ U A (x − ) P(X − |δ U − A (x)) = P(X|δ U A (x)) > α ∀x ∈ N (α,β) A (X) x ∈ U −δ U A (x − ) x ∈ N (α,β) A (X − ) 若对象满足 ，那么由定理 4 可以 得到 ，因此 且 都有 。 ∀x ∈ U −N (α,β) A (X) x ∈ δ U A (x − )− {x − } 对于 ，若对象满足 ，那么由定理 4 可以得到 P(X − |δ U − A (x)) ⩽ P(X|δ U A (x)) ⩽ α. ∀x ∈ U −N (α,β) A (X) x ∈ δ U A (x − )− {x − } x < N (α,β) A (X − ) 因此 且 都有 . x ∈ U −δ U A (x − ) P(X − |δ U − A (x)) = P(X|δ U A (x)) ⩽ α ∀x ∈ U −N (α,β) A (X) x ∈ U −δ U A (x − ) x < N (α,β) A (X − ) ∀x ∈ U −N (α,β) A (X) x < N (α,β) A (X − ) 若对象满足 ，那么由定理 4 可以得 到 。因此 且 都 有 。综合起来 都满足 ，则 (1) 成立。 ∀x ∈ N (α,β) A (Y) x ∈ δ U A (x − )− {x − } 2) 对于 ，若对象满足 ，那么由定理 4 可以得到 P(Y − |δ U − A (x)) > P(Y|δ U A (x)) > α x ∈ U −δ U A (x − 若对象满足 ) ，那么由定理 4 可以 得到 P(Y − |δ U − A (x)) = P(Y|δ U A (x)) > α ∀x ∈ N (α,β) A (Y) x ∈ N (α,β) A (Y − 因此 都有 )。 ∀x ∈ U −N (α,β) A (Y) x ∈ δ U A (x − )− {x − } 对于 ，若对象满足 ，那么由定理 4 可以得到 P(Y − |δ U − A (x)) > P(Y|δ U A (x)),P(Y|δ U A (x)) ⩽ α P(Y − |δ U − A 此时不能直接确定 (x)) 与 α 之间的 关系。 x ∈ U −δ U A (x − 若对象 ) ，那么由定理 4 可得到 P(Y − |δ U − A (x)) = P(Y|δ U A (x)) ⩽ α x < N (α,β) A (Y − 即 )。 (U −N (α,β) A (Y))∩ (δ U A (x − )− {x − }) x ∈ δ U A (x − )− {x − } −N (α,β) A (Y) 因此只需要计算对象集 中的对象便可以完成近似集的增量 式更新，即计算 ， 因 此 2) 成立。 定理 5 证明完毕。 x − N (α,β) A (X) N (α,β) A (X − ) P(X − |δ U − A (x)) N (α,β) A (Y) N (α,β) A (Y − ) 定理 5 表明，当邻域型信息系统移除一个对 象 后，新的邻域决策粗糙下近似集变化也呈现 一定的规律，例如从 更新至 ，其 近似集是减小的，并且减少的对象只来源于一小 部分对象集，因此只需对这里面的对象进行概率 的计算，便可得到最终的更新结果。 同样地对于 更新至 ，也只需对一 小部分对象进行相关计算便可以完成最终更新。 所以定理 5 所示的下近似集增量式更新方法具有 较高的计算效率。类似于定理 5 的研究方法，接 下来可以进一步得到上近似集的增量式更新。 IS = (U,AT) δ X,Y ⊆ U A ⊆ AT N (α,β) A (X) N (α,β) A (Y) U x − x − ∈ U IS− = (U − = U − {x − },AT) X − ,Y − ⊆ U − X − = X − {x − } Y − = Y X − Y − A ⊆ AT 定理 6 设邻域型信息系统 ，邻域 半径为 。对于 关于属性集 的邻 域决策粗糙上近似分别为 和 .当 信息系统论域 移除一个对象 ， ，新的邻 域型信息系统表示为 。若 且 , ，那么 、 关于 属性集 的邻域决策粗糙上近似增量式更 新为 1)N (α,β) A (X − ) =N (α,β) A (X)− {x ∈ N (α,β) A (X)∩ (δ U A (x − )− {x − })|P(X − |δ U − A (x)) < β} 2)N (α,β) A (Y − ) = N (α,β) A (Y)∪ {x ∈ δ U A (x − )− {x − } −N (α,β) A (Y)|P(Y − |δ U − A (x) ⩾ β} ∀x ∈ U −N (α,β) A (X) x < N (α,β) A (X − ) ∀x ∈ N (α,β) A (X) x ∈ U −δ U A (x − ) x ∈ N (α,β) A (X − ) ∀x ∈ N (α,β) A (X) x ∈ δ U A (x − )− {x − } P(X − |δ U − A (x)) α 证 明 1 ) 根据定 理 5 的证明结果，对于 都满足 。而对于 且 都有 ，只 有当 且 时， 与 之间的大小关系不能直接确定，因此定理 6 中的 1) 得到证明。 ∀x ∈ N (α,β) A (Y) x ∈ N (α,β) A (Y − ) ∀x ∈ U −N (α,β) A (Y) x ∈ U −δ U A (x − ) x < N (α,β) A (Y − ) ∀x ∈ U −N (α,β) A (Y) x ∈ δ U A (x − )− {x − } P(Y − |δ U − A (x)) α 2) 根据定理 5 的证明结果，对于 都 有 。对于 且 时，都有 ，只有当 且 时，不能直接确 定 与 之间的大小关系，因此定理 6 中的 2) 得到证明。 N (α,β) A (X) N (α,β) A (Y) δ U A (x − ) 定理 6 与定理 5 类似，只需要在原先上近似 集 和 的结果上，进一步对 ·750· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷