首先证明每条1-g路PCH一{2，v4}在H中把2和4分开.显然，这 个结论成立当且仅当在G中的圈C:=v1Pu3v把U2和v4分开，我们可通过说明 2和4在C的不同面中来证明这个结论 我们在D中分别选取s2和94的内点2和x4,那么在D八(s1Us3)CR2\C 中，每一个点都可以通过一条多边弧连接到x2或x4,这说明x2和x4(因此2和 4也是一样)在C的不同面中，否则，D只与C的两个面中的一个相交，这与v属 于这两个面的边界这一事实矛盾（定理4.11）. 给定i,j∈{L,·,5},设H)是由着色i和j的顶点所导出的H的子图.我 们可以假设H1,3中包含1的分支C也包含g,如果把C中所有着色1和3的 顶点交换颜色，我们就得到了H的另一个5着色.如果3生C,那么在这个新着 色中，1和3都着色3，这时我们可以给v着色1.因此，H1.3包含一条1-仍路 P.上面已经证明，在H中P把2和v4分开.因为PnH2,4=②，这意味着2和 4属于H2,4的不同分支.在包含2的那个分支里，交换颜色2和4，因此把2重 新着色为4.现在就没有着色2的邻点，我们可以给它着此色了： ▣