ap- pap HOLp mhO)R 在其中做变量代换 ≥ 方 那么方程成为 d2r 1 dr E R=0 d24 在ξ→时R→e2,在→0时R→2,所以可设 代入方程中得到l()需满足 公+(m|+1-5)元+E d 2u du m-|m|-1u=0 O 这又是合流超几何方程,它有多项式解的条件是 E=(2 m|+1)mn,(n=0,12,…) 或者写为 N=2nn+m+|m=0,2,4,…) 这就是粒子的能级。而(5)成为缔合 Laguerre多项式lm(5),所以径向波函数是 Rn(p)∝im()m2e 如果我们改用C2=2a而不是a来表达能级,那么能级又可以写为 En=n+hoc,n=n,+ 0,1,2 2 它与固有频率为的谐振子能级完全相同。这些能级就称为 Landau能级 *3. Landau能级的简并度 尽管 Landau能级的样子看起来和谐振子的能级一样,它们的简并度却完全不同。注意到 以及 所以对于给定的n,一旦n2=n,那么所有的m≤0都是允许的,所以 Landau能级的简并度是无穷大。 但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。其实在现实的物理实验当中,任何“二维电子气体”样品 的面积都是有限的。设平面的面积为S,那么可以证明:所有的 Landau能级的简并度都是 h 或者写为 d g d 其中Φ=BS是整个平面内的总磁通,而 =4135667×10-15V 是所谓的“磁通量子”。也可以说单位面积上的能级简并度是2 2 2 2 2 2 2 2 L L 1 1 ( ) . 2 2 m    R E m R              − + − + = −           在其中做变量代换 L 2 , ( 0)     =  那么方程成为 2 2 2 2 L 1 1 1 0. 4 2 4 d R dR E m m R d      d     + − − − + =         在  → 时 /2 R e → − ，在  → 0 时 | |/ 2 m R →  ，所以可设 | |/ 2 / 2 ( ) . e m R u    − = 代入方程中得到 u( )  需满足 2 2 L 1 (| | 1 ) | | 1 0. 2 d u du E m m m u d d        + + − + − − − =     这又是合流超几何方程，它有多项式解的条件是 L E n m m n (2 | | 1) , ( 0,1, 2, ) = + + + =    或者写为 L ( 1) , ( 2 | | 0, 2, 4, ) E N N n m m N = + = + + =   这就是粒子的能级。而 u( )  成为缔合 Laguerre 多项式 | |( ) m Ln  ，所以径向波函数是 | | | |/ 2 / 2 2 L ( ) ( ) . e m m R L Nm n        −    =     如果我们改用 c L   = 2 而不是 L 来表达能级，那么能级又可以写为 c 1 | | , 0,1, 2, 2 2 n m m E n n n       + = + = + =         它与固有频率为 c 的谐振子能级完全相同。这些能级就称为 Landau 能级。 *3．Landau 能级的简并度 尽管 Landau 能级的样子看起来和谐振子的能级一样，它们的简并度却完全不同。注意到 | |, ( 0,1, 2, ; 0, 1, 2, ) 2 m m n n n m   + = + = =   以及 | | , ( 0) 2 0, ( 0) m m m m m +   =    所以对于给定的 n ，一旦 n n  = ，那么所有的 m  0 都是允许的，所以 Landau 能级的简并度是无穷大。 但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。其实在现实的物理实验当中，任何“二维电子气体”样品 的面积都是有限的。设平面的面积为 S ，那么可以证明：所有的 Landau 能级的简并度都是 , eBS g h = 或者写为 0 g ,  =  其中 = BS 是整个平面内的总磁通，而 15 0 4.135667 10 V s, h e −  = =  是所谓的“磁通量子”。也可以说单位面积上的能级简并度是