16.322 Stochastic Estimation and Control, Fall 2004 Prof. VanderⅤelde For the sum of multiple random variables E[Xx+X2+…+X=」么∫(x+x+…+x),、(x,…x) dx X x1(x)+∫xf2(x2)2+…+∫xn/(xn) =E[X]+E[x2]+…+E[X This relation is true whether or not the xi are independent For the product of multiple independent random variables ELX,Y.X dxn(xx2…xn)x(x1…,xn) d1-d(xx2-x)/n(x)/2(x)-f,( 「x1(x)x1(x)2x(x) EYEY]E[X, Page 6 of 616.322 Stochastic Estimation and Control, Fall 2004 Prof. Vander Velde For the sum of multiple random variables: ∞ ∞ E X 1 + X + ... + Xn ] = ∫ dx1... dx x 1 + x + ... + x f x1,..., x [ ( x ,..., x ) 2 ∫ n ( 2 n ) n 1 n −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ dx1... dx x f 1 n ∫ ∫ n n x 1,..., x ( x1,..., xn ) n 1 x1 ,..., x ( x ,..., x ) + ... + dx1 = ... dx x f ∫ ∫ n n −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ = ∫ x f x dx1 + xf ( x dx + ... + xf ( x )dx 1 x1 ( 1) ∫ 2 x2 2 ) 2 ∫ n xn n n −∞ −∞ −∞ = E X[ ]1 + E X[ 2 ] + ... + E X[ n ] This relation is true whether or not the xi are independent. For the product of multiple independent random variables: ∞ ∞ E X X 2... Xn ] = ∫ dx1... dx x x2... x f x1 ,..., x [ ( x ,..., x ) 1 ∫ n ( 1 n ) n 1 n −∞ −∞ ∞ ∞ dx1... dx x1 x2 = ... x f x f ( x )... f ( x ) ∫ ∫ n ( n ) x1 ( 1) x2 2 xn n −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ x f x dx 1 x f ( x dx2 = ... x f ( x dx ∫ 1 x1 ( 1) ∫ 2 x2 2 ) ∫ n xn n ) n −∞ −∞ −∞ = E X E X [ ][ 1 2 ]... E X[ n ] Page 6 of 6