第五章导数和微分 §1导数的概念 例1讨论下列函数的可导性 f(x) x为有理数 为无理数 g(x)= x为有理数 x为无理数 解首先讨论f(x)的可导性。当x=0时,因为 ∫(xo+△x)-f(x0)_A△x为有理数 -lax为雪理数 所以如,(+A1)=/(x)不存在时,即(x)在点0处不可导。当x≠0时,f(x) Ax 在点x处不 连续,于是∫(x)在点x处也不可导。 然后讨论g(x)的可导性。当x0=0时, g(x0+△x)-g(x0)_{x为有理数 于是有 g(x0+△x)-g(x0) 即g(0)=0,当x0≠0时,g(x)在点x不连续,于是g(x)在点x0不可导 例2设函数f(x)定义在a](a>0)上,且适合|f(x)|≤x2,证明∫(0)=0又 g(Ax)-f(0)-(△x)2 I Ax I △x 于是 f(Ax)-f(0) △r→0 则∫(0)=0得证 例3设函数∫(x),g(x)定义在[ab]上,x∈(a,b),f(x0)=g(x),且 f-(x0)=g'+(x0),又定义第五章 导数和微分 §1 导数的概念 例 1 讨论下列函数的可导性  x x f x − ( ) 为有理数 为无理数 x x  2 ( ) 2 x x g x − = 为有理数 为无理数 x x 解 首先讨论 f（x）的可导性。当 x0 = 0 时，因为  为有理数 为雪理数 x x x f x x f x  −  =  +  − 1 1 0 0 ( ) ( ) 所以 x f x x f x x  +  −  → ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在时，即 f (x) 在点 0 处不可导。当 x0  0 时， f (x) 在点 0 x 处不 连续，于是 f (x) 在点 0 x 处也不可导。 然后讨论 g(x) 的可导性。当 x0= 0 时，  为有理数 为无理数 x x x x x g x x g x    = −  ( +  ) − ( ) 0 0 于是有 0, ( ) ( ) lim 0 0 0 =  +  −  → x g x x g x x 即 g (0) = 0 ，当 x0  0 时，g（x）在点 0 x 不连续，于是 g(x) 在点 0 x 不可导。 例 2 设函数 f (x) 定义在[-a,a]（a＞0）上，且适合∣ f (x) ∣≤x 2，证明 f (0) = 0 又 因 ︱ x g x f  ( ) − (0) ∣≤ x x  ( )2 ︱ x ︱ 于是 lim x→0 ∣ x f x f  ( ) − (0) ∣=0 则 f  （0）=0 得证 例 3 设函数 f (x) ， g(x) 定义在 [a,b] 上 ， ( , ), ( ) ( ) 0 0 0 x  a b f x = g x ， 且 ( ) ( ) 0 0 f − x = g + x ，又定义