引理151:F[x为域F上的多项式环,x)2g(x), h(x)∈FKxl,f(x)g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x) =a∈F时有f(x)h(x) 证明:利用最大公因子的性质定理159(2)得 存在s(x),t(x)∈F|x],使 a=s(x)f()+t(xg(x) A1=a-s(x)f(x)+at(xgx 因此有h(x)=a4s(x)(x)h(x)+a1+x)g(x)h(x) 一因为x)g(x)h(x) 故(x)a-(x)g(x)h(x) 所以(x)a-ls(x)f(x)h(x)a1t(x)g(x)h(x) 即f(x)h(x)▪ 引理15.1:F[x]为域F上的多项式环,f(x),g(x), h(x)F[x], f(x)|g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x)) =aF*时,有f(x)|h(x)。 ▪ 证明:利用最大公因子的性质定理15.9(2)得 ▪ 存在s(x),t(x)F[x],使 ▪ a=s(x)f(x)+t(x)g(x) ▪ 即1=a -1 s(x)f(x)+a -1 t(x)g(x) ▪ 因此有h(x)=a -1 s(x)f(x)h(x)+a -1 t(x)g(x)h(x) ▪ 因为f(x)|g(x)h(x) ▪ 故f(x)|a-1 t(x)g(x)h(x), ▪ 所以f(x)|a -1 s(x)f(x)h(x)+a -1 t(x)g(x)h(x) ▪ 即f(x)|h(x)