下例说明即使点x沿任意直线趋于x时,f(x,y)的极限都存在且 相等,仍无法保证函数f在x处有极限。 例11.2.4设f(x,y) 2,(x,y)≠(0.0) y:+x 点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(00)时,成立 (m'x-x lim f(r, v)=lim-44+x y=mx 当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,也成立lmnf(x,y)=1,因此当点x=(x, 沿任何直线趋于(00)时,f(x,y)极限存在且相等。 但f(x,y)在点(00)的极限不存在。事实上,∫在抛物线y2=x上的 值为0,因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(0,0)时,它的极限为0。下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 x0 时， yxf ),( 的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 x0处有极限。 例 11.2.4 设 )0,0(),(, )( ),( 24 22 ≠ +− = yx xy xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时, 成立 1 )( lim),(lim 244 222 0 0 = +− = → = → xxm xxm yxf x mxy x ； 当点 x = yx ),( 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim 0 0 = = → yxf x y ，因此当点 x = yx ),( 沿任何直线趋于 )0,0( 时， yxf ),( 极限存在且相等。 但 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 = xy 2 上的 值为 0，因此当点 x = yx ),( 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0