(3) 2 arc tan x +arcsin =r,x∈[l,+∞) 1+x 证(1)令f(x)= arcsin x+ arccos x,则 f(x)= ≡0,Vx∈(0,1)。 由于f(x)在[0,连续,所以f(x)=f()=x。 (2)令f(x)=3 arccos x-arco3x-4x3),注意到1-4x20,x∈(-,), 所以 3-12 f(x) ≡0,Vx∈(-,-) (3x-4x3)2 由于f(x在连续,所以f(x)=/(0)=22=z (3)令f(x)=2 arctan x+ arcsin,,注意到x2-1>0.x>1,所以 1+x 0.Vx>1 由于f(x)在口+)连续,所以f(x)=f(1242x° 1].设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除 至多有限个点有f(x)=0之外,都有f(x)>0,则f(x)在[a,b上严格 单调增加;同时举例说明,其逆命题不成立。 证设a=x<x<…<x1<xn=b,其中x1,x2…,x是f(x)全部的零点。 则∫(x)在[x,xn](=01…,n-1上严格单调增加。从而,f(x)在{a,b]上 严格单调增加。 构造函数 f(x) 3.2-(m+2)+2-(m+2) cos(-n), n+/+s⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ，x ∈[ , 1 +∞). 证（1）令 f x( ) = arcsin x + arccos x，则 2 2 1 1 '( ) 0, (0,1) 1 1 f x x x x =−≡ ∀ ∈ − − 。 由于 f (x)在[0,1]连续，所以 ( ) (0) 2 f x f π ≡ = 。 （2）令 3 f ( ) x x = − 3arccos arccos(3x − 4x ) ，注意到 2 1 1 1 4 0, ( , ) 2 2 − ≥ x x ∀ ∈ − ， 所以 2 2 3 2 3 3 12 1 '( ) 0, ( , ) 1 1 (3 4 ) 2 2 x f x x x x x − = − + ≡ ∀ ∈ − − − − 1 。 由于 f (x)在 1 1 [ , 2 2 − ]连续，所以 ( ) (0) 3 2 2 f x f π π ≡ = − = π 。 (3) 令 2 2 ( ) 2arctan arcsin 1 x f x x x = + + ，注意到 2 x −1 0 > ∀, x >1，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 4 '( ) 0, 1 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 x x f x x x x x x + − = + ≡ ∀ + + − + > 。 由于 f (x)在[1,+∞) 连续，所以 ( ) (1) 2 4 2 f x f π π ≡ = + = π 。 11．设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导。证明：若( , a b)中除 至多有限个点有 f x ′( ) = 0 之外，都有 f x ′( ) > 0 ，则 f (x)在[ , a b ]上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设a x = <0 1 x <"< xn−1 < xn = b，其中 1 2 1 , , , n x x x " − 是 全部的零点。 则 在 上严格单调增加。从而， 在[ , 上 严格单调增加。 f '(x) f x( ) 1 [ , ] ( 0,1, , 1) i i x x i n + = " − f x( ) a b] 构造函数 ( 2) ( 2) 0, 0; ( ) 1 1 1 3 2 2 cos( ) , , 1, 2, . 1 n n x f x n x n x n n π − + − + ⎧ = ⎪ = ⎨ ⋅ + − < ≤ = ⎪ ⎩ + " 100