期末作业 Final assignment 2023年5月28日 数学建模课程 May 28th,2023 2.3.2拉格朗日烟团模型 该模型将同一种类的不同烟尘粒子合并为烟团，将烟尘视为有限个烟团的叠加。假设烟 团的浓度分布在水平与垂直方向上均满足高斯分布，利用22中的分析，第i个烟团对空间 内任一点(r,)的浓度作用： c=9a即(-)m(-) (2.15) 其中，Q:为改烟团的质量：？为距离点源的水平距离：z为距离点源的垂直距离。 注意到空间任一点会受多个烟团的影响，且空间内排放源是连续不断的，故该点的浓度 为所有的浓度贡献之和： C(r,2)=〉C(r,) (2.16) 对各个烟团的浓度分布进行模拟或经验求解后，通过简单叠加即可实现对整体的求解。 S2.4常见模型的分析 高斯模型是基于简化假设而建立的统计学模型，其优点在于其简单易用，适用于大气污 染物浓度分布较为均匀的情况。但是，该模型忽略了地形、建筑物等因素对大气扩散的影响 在某些场景下，如建筑密集区域、狭长山谷等地方，衍射和折射现象十分重要，而高斯模型 缺乏对这些现象的解释，因此得到的浓度分布精度很低：同时高斯模型通常不适用于时间尺 度较短、风速变化的情况，在这种情况下，必须使用微分方程模型来计算污染物扩散过程。 而拉格朗日粒子模型可模拟非稳态、复杂大气流场下污染物的扩散过程，并能有效考虑 污染物在大气中传输、湍流等因素对扩散的影响，对污染物浓度分布结果准确性更高。但是 由于其模拟了每个粒子的运动过程，计算中需耗费大量的计算资源和时间，参数比较繁多 使用不太方便，适用范围较窄，主要应用于小尺寸场景的污染扩散预测与评估。 拉格朗日烟尘模型将两者的优点结合，但仍然避免不了先验假设浓度在特定方向形成了 正态分布稳态，只要考虑地形因素，这个假设往往无法成立。 于是，我们希望能得到一个介于这两者间的模型，既不预先假设整体浓度分布，也不细 致到每个粒子，而是将浓度作为整体，考虑烟尘浓度的传输。 三、问题分析 本文考虑一个高度为h的烟肉单位时间排放质量Q的灰尘在风速为U的西风作用下 在周围地表的扩散过程。我们需要建立一个数学模型来描述灰尘的扩散过程，并且通过实验 验证模型的有效性。具体来说，除了己知条件以外，我们需要在求解浓度变化前先回答以下 问题：期末作业 2023 年 5 月 28 日 数学建模课程 Final Assignment May 28th, 2023 2.3.2 拉格朗日烟团模型 该模型将同一种类的不同烟尘粒子合并为烟团，将烟尘视为有限个烟团的叠加。假设烟 团的浓度分布在水平与垂直方向上均满足高斯分布，利用 2.2 中的分析，第 i 个烟团对空间 内任一点 (r, z) 的浓度作用： Ci(r, z) = Qi (2π) 3/2σrσz exp ( − r 2 2σ 2 r ) exp ( − z 2 2σ 2 z ) (2.15) 其中，Qi 为改烟团的质量；r 为距离点源的水平距离；z 为距离点源的垂直距离。 注意到空间任一点会受多个烟团的影响，且空间内排放源是连续不断的，故该点的浓度 为所有的浓度贡献之和： C(r, z) = ∑ M i=1 Ci(r, z) (2.16) 对各个烟团的浓度分布进行模拟或经验求解后，通过简单叠加即可实现对整体的求解。 §2.4 常见模型的分析 高斯模型是基于简化假设而建立的统计学模型，其优点在于其简单易用，适用于大气污 染物浓度分布较为均匀的情况。但是，该模型忽略了地形、建筑物等因素对大气扩散的影响， 在某些场景下，如建筑密集区域、狭长山谷等地方，衍射和折射现象十分重要，而高斯模型 缺乏对这些现象的解释，因此得到的浓度分布精度很低；同时高斯模型通常不适用于时间尺 度较短、风速变化的情况，在这种情况下，必须使用微分方程模型来计算污染物扩散过程。 而拉格朗日粒子模型可模拟非稳态、复杂大气流场下污染物的扩散过程，并能有效考虑 污染物在大气中传输、湍流等因素对扩散的影响，对污染物浓度分布结果准确性更高。但是 由于其模拟了每个粒子的运动过程，计算中需耗费大量的计算资源和时间，参数比较繁多， 使用不太方便，适用范围较窄，主要应用于小尺寸场景的污染扩散预测与评估。 拉格朗日烟尘模型将两者的优点结合，但仍然避免不了先验假设浓度在特定方向形成了 正态分布稳态，只要考虑地形因素，这个假设往往无法成立。 于是，我们希望能得到一个介于这两者间的模型，既不预先假设整体浓度分布，也不细 致到每个粒子，而是将浓度作为整体，考虑烟尘浓度的传输。 三、 问题分析 本文考虑一个高度为 h 的烟囱单位时间排放质量 Q 的灰尘在风速为 U 的西风作用下 在周围地表的扩散过程。我们需要建立一个数学模型来描述灰尘的扩散过程，并且通过实验 验证模型的有效性。具体来说，除了已知条件以外，我们需要在求解浓度变化前先回答以下 问题： 4