第五章二次型 §1二次型及其矩阵表示 、二次型及其矩阵表示 设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2…xn)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a2x2+…+2a2nx2xn+…+ ax(1) 称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型 定义1设x1,…xny1,…,y是两组文字,系数在数域P中的一组关系式 x2=C21y1+c22y2+……+C2nVn y1+cny2+…+Cmy 称为由x1…x到η1…yn的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式 n≠0,那么线性替换(2)就称为非退化的 线性替换把二次型变成二次型 令an=a1,<j由于xx=x,x,所以二次型(1)可写成 f(x1,x2…,xn)=a1x2+a12x1x2+…+a1nx1xn t a2rx2x, + a22x 2+.+,x anxx+a2x2+…+amx2 ∑∑anxx (3) 把(3)的系数排成一个n×n矩阵 a 它称为二次型(3)的矩阵因为an=an,i,j=1,2…n,所以 A=A 把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的令第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 设 P 是一个数域,一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1  的二次齐次多项式 ( , , , ) 2 2 2 (1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n 1 1 1 n n n n n n n f x x  x = a x + a x x ++ a x x + a x ++ a x x ++ a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 定义 1 设 n n x , , x ; y , , y 1  1  是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式        = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , (2) 称为由 n x , , x 1  到 n y , , y 1  的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 cij  0 ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 a a ,i j . ij = ji  由于 , i j j i x x = x x 所以二次型(1)可写成 (3) ( , , , ) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = = = + + + + + + + + + = + + + n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x a x x a x a x x f x x x a x a x x a x x      把(3)的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 21 22 2 11 12 1               = n n nn n n a a a a a a a a a A        (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij = ji =  所以 A = A 把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令