大,则只能在三维空间中描述它,第三个主成分取在短轴上。 (2)主成分的求解 求解主成分的主要数学工具是特征方程。通过求解观测变量相关矩阵的特征 方程,得到k个特征值和对应的k个单位特征向量,把k个特征值按从大到小 的顺序排列,它们分别代表k个主成分所解释的观测变量的方差,主成分是观 测变量的线性组合,线性组合的权数即为相应的单位特征向量中的元素。 对主成分求解过程感兴趣的读者可以阅读下面方框中的内容,数学基础较差 者可不看,并不影响对因子分析的理解和使用。 设R为观测变量的相关矩阵,对于矩阵R,存在实数λ、非零的向量 V,使下式成立: RV=dv λ称为矩阵R的特征值,V称为矩阵相应于λ的特征向量。通过求解特 征方程 Det(R-21)=0 得到R的k个特征值,把它们从大到小排列为 A1>A2>…λk>0(k为变量个数) 因为相关矩阵为实对称矩阵,它的特征根都是实数,并且有k个线性无 关的特征向量,所以,我们可以求出R的一组正交的单位特征向量,V1, V为对应于λ的单位特征向量,满足Rv;=λ;V; 则ⅴ=(v,V2,…,V)为正交阵,满足 VV=VV=I 令Q=dag(A1,λ 则有Rv=VQ R- v2 令∫=VX 则∫的协方差阵M=E[FF]=E[vXXv]=VEXX]v = RV Q=diag(A1,λ 入k) 第p个主成分fp=vX