设求解方程组Ax=b的逐次逼近法为x1=(Ⅰ-BAx4-Bb,其中B是非奇异矩阵.证明:当 (A-B(A-B)的最大特征值小于BB的最小特征值时逐次逼近法收敛 设逐次逼近法xA=Hx4+b,证明:如果存在对称正定矩阵P,使B=P-HPH 为对称正定矩阵,那么逐次逼近法收敛 a d .设A=a1a,其中a∈R (1)对a的哪些值, Jacobi迭代法收敛? (2)对a的哪些值,G-S迭代法收敛? 10-10 0.设三阶方程组Ax=b中,A=-110-2,b=7,写出用SOR迭代法求解的迭代公式,并取 0-210 x。=0,O=1.3,求出方程组的解 1.设A是对称正定矩阵,从方程组Ax=b的近似解出发,依次沿直线x=x4+te;,i=1,2,L,n 求二次泛函H(x)=xAx-2bx的极小点,验证这样的迭代过程就是GS迭代法 2.设A是n阶对称正定矩阵,{p}(=01L,n-1)是A共轭向量组证明:A-8PP p, Ap7．设求解方程组 的逐次逼近法为 Ax b = 1 1 1 ( ) xk k I BA B x b − + =− − − ) ，其中 B 是非奇异矩阵. 证明：当 ( )( T A B− A−B 的最大特征值小于 的最小特征值时逐次逼近法收敛. T B B 8．设逐次逼近法 xk k +1 = + H x b ，证明：如果存在对称正定矩阵 P，使 T B P H PH = − 为对称正定矩阵，那么逐次逼近法收敛. 9．设 1 1 1 a a A a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，其中 a R ∈ . （1）对 a 的哪些值，Jacobi 迭代法收敛？ （2）对 a 的哪些值，G-S 迭代法收敛？ 10．设三阶方程组 中， Ax b = ， ，写出用 SOR 迭代法求解的迭代公式，并取 10 1 0 1 10 2 0 2 10 A ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎟ =− − ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 9 7 6 b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 0=0 ，ω =1.3，求出方程组的解. 11．设 A 是对称正定矩阵，从方程组 的近似解出发，依次沿直线 Ax b = x x te = +k i ，i n = 1, 2, , L 求二次泛函 ( ) 2 T H x T T = − x A x bx 的极小点，验证这样的迭代过程就是 G-S 迭代法. 12．设 A 是 n 阶对称正定矩阵，{ } 是 A-共轭向量组. 证明： pi ( 0,1, , 1) i n = − L 1 1 0 T n i i T i i i p p A p Ap − − = = ∑