第二十三讲柱函数(二) §23.1 Bessel方程的本征值问题 现在从一个具体问题入手,讨论 Bessel方程的本征值问题 求四周固定的圆形薄膜的固有频率 注意,这个问题不同于过去讨论过的偏微分方程定解问题:现在并没有给出初始条件,所要 求的也不是描写圆形薄膜振动的位移如何随时间和空间而变化.现在要求的是固有频率,即求出 给定偏微分方程和边界条件下的所有各种振动模式的角频率也正是因为现在的问题中并没有给 出初始条件,所以也不能得出位移转动不变的结论 取平面极坐标系,坐标原点放置在圆形薄膜的中心这样,偏微分方程和边界条件就是 (23.1a) u=有界, u=a=0 (23.1b) au au u=0=1=2= (23.1c) = 现在要求的就是在边界条件(23.1b)和(3.1c)的限制下,到底许可哪些值,使得方程 (23.1a)有非零解 u(r,, t)=(, )eiut (23.2) 将此解式代入方程(23.1)及边界条件(23.1b)和23.1c),并令k=c,就可以得到 1 12v +20b2+k2v=0 0有界=a=0 av v=0==2 a中=00中=2n 再令v(,中)=R(r)(中),分离变量,就得到两个本征值问题 ()+m2()=0 (23.3a) (0)=重(2元),重(0)=重(2) (23.3b) 和 (23.4a) R(0)有界,R(a)=0 (23.4b)Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) §23.1 Bessel ✟✠✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢ Bessel ✣✤✥✦✧★✗✘✩ ✪✫✬ ✭✮✥ ✯✰✱✲✥ ✭✳✴✵ ✶✷✛✸✹ ✺✻✼ ✽✾✿❀❁❂✿❃❄❅❆❇❈❉❊ ✺✻❋●❍■❏❑▲ ▼◆❖P◗✛❘❙ ❚❃❯✼❱❲ ❳❨❩ ❬❭❪❫❃❴❵❛❜❝❞ ❡❢ ❣❡❤✐❥✩●❍❙❚❃❱ ❦❑❧♠✛♥❚ ▼ ▲❉❄❅❆❇❈❢♦♣P◗q❃❘❑rs❪❫t✉❃ ✈❧♠✩❯✇❱ ①②●❍❃ ✺✻ ③■❏❑▲ ▼◆❖P◗✛❘ ④❯✼⑤⑥ ▼❴❵⑦❫✼✐❃⑧❂✩ ⑨⑩❶❷❸❹❺✛❸❹❻❼❽❾✑ ✯✰✱✲✥ ❿➀✩➁➂✛➃➄➅✣✤➆➇➈➉➊➋➌ ∂ 2u ∂t2 − c 2  1 r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2  = 0, (23.1a) u   r=0✳ ➈, u   r=a = 0, (23.1b) u   φ=0 = u   φ=2π , ∂u ∂φ     φ=0 = ∂u ∂φ     φ=2π . (23.1c) ✏ ✑ ➍ ✪ ✥ ➋ ➌ ✑ ➇ ➈ ➉ ➊ (23.1b) ➆ (23.1c) ✥ ➎ ➏ ➐ ✛➑ ➒ ➓ ➔ → ➣ ω ★ ✛↔ ↕ ✣ ✤ (23.1a) ✳➙➛➜ u(r, φ, t) = v(r, φ)eiωt . (23.2) ➝➞➜➟➠✙ ✣✤ (23.1) ➡➇➈➉➊ (23.1b) ➆ (23.1c) ✛➢➤ k = ω/c ✛ ➋ ➔➥↕➑ 1 r ∂ ∂r  r ∂v ∂r  + 1 r 2 ∂ 2v ∂φ2 + k 2 v = 0, v   r=0 ✳ ➈ v   r=a = 0, v   φ=0 = v   φ=2π , ∂v ∂φ     φ=0 = ∂v ∂φ     φ=2π . ➦➤ v(r, φ) = R(r)Φ(φ) ✛➅➧➨➩✛➋ ↕➑➫✔✦✧★✗✘ Φ 00(φ) + m2Φ(φ) = 0, (23.3a) Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π) (23.3b) ➆ 1 r d dr  r dR(r) dr  +  k 2 − m2 r 2  R(r) = 0, (23.4a) R(0)✳ ➈, R(a) = 0. (23.4b)