★特征值与特征向量 定义1(1)对n阶方阵A=(an)mn,称多项式 p(a)=det(al-A)=det ”-(a1+a2+…+am)2n+(的次数≤n2的项) 为A的特征多项式,方程 q?()=det(I-A)=0 (1.1 为A的特征方程,特征方程的根为A的特征值。用(A)表示A的所有特征值的集合(k重 特征值视为k个相同的特征值)。 (2)设λ为n阶方阵A的特征值,则称齐次线性代数方程组 (I-A)x=0 (1.2) 的非零解x为A的对应于λ的特征向量 矩阵A的特征值问题就是求数A和非零向量x,使得 Ax=a 物理、力学和工程技术中的许多问题(如工程技术中求一个力学、结构或电学系统的固有或 自然频率)在数学上都归结为矩阵的特征值问题。 例1求矩阵A的特征值和特征向量,其中 401 解A的特征方程为 qp()=de(aI-A)=(-2)(2-1)-4]=0 求得A的特征值为 1=3,2=2,A3=-1, 对应于各特征值的特征向量分别为 0 n阶方阵A在复数域上有n个特征值(重特征值按重数计算)。当A为实矩阵时,复特 征值共轭成对出现 当n较大时,如果按展开行列式的办法先求出特征多项式q(),再求9(4)的根,最 后求相应的特征向量的话,计算工作量会非常大158 ＊ 特征值与特征向量 定义 1 （1）对 n 阶方阵 ( ) A a = ij n n ，称多项式 11 12 1 21 22 2 1 2 - - - - - - ( ) det( ) det - - - n n n n nn a a a a a a A a a a             =  − =       1 11 22 ( ) ( -2 ) n n nn    a a a n − = − + + + +  的次数 的项 为 A 的特征多项式，方程    ( ) det( ) 0 =  − = A （1.1） 为 A 的特征方程，特征方程的根为 A 的特征值。用  (A) 表示 A 的所有特征值的集合（ k 重 特征值视为 k 个相同的特征值）。 （2）设  为 n 阶方阵 A 的特征值，则称齐次线性代数方程组 ( ) 0  − = A x （1.2） 的非零解 x 为 A 的对应于  的特征向量。 矩阵 A 的特征值问题就是求数  和非零向量 x ，使得 Ax = x . （1.3） 物理、力学和工程技术中的许多问题（如工程技术中求一个力学、结构或电学系统的固有或 自然频率）在数学上都归结为矩阵的特征值问题。 例 1 求矩阵 A 的特征值和特征向量，其中 1 0 1 1 2 2 4 0 1 A     =       . 解 A 的特征方程为 2      ( ) det( ) ( 2)[( 1) 4] 0 =  − = − − − = A ， 求得 A 的特征值为 3, 2, 1, 1 = 2 = 3 = − 对应于各特征值的特征向量分别为 1 2 3 1 0 1 5 , 1 , 1 2 0 -2 x x x             = = =                   . n 阶方阵 A 在复数域上有 n 个特征值（重特征值按重数计算）。当 A 为实矩阵时，复特 征值共轭成对出现。 当 n 较大时，如果按展开行列式的办法先求出特征多项式  ( ) ，再求  ( ) 的根，最 后求相应的特征向量的话，计算工作量会非常大