Contents 8.5 Matrix Representation of the Spin Operators and Ei The Stern-Gerlach Experiment 8.6 Addition of angular momenta 273 Examples of Angular Momentum Coupling Spin and Identical Particles 8.7 The Vector Model of Angular momentum Retrospective 8.9 References Problems .294 9 Central Potentials .1 Separation of the Schrodinger Equation 9.1.1 The Effective Potential 9.1.2 generacy 302 9.1.3 Behavior of the Wave Function for Small and Large 9.2 The Free Particle in Three dimensions 9.3 The Infinite Spherical Square Well 308 9. 4 The Finite Spherical Square Well 9.5 The Isotropic Harmonic Oscillator 316 Cartesian Coordinates 9.5.2 Spherical Coordinates 319 9. 6 The Morse Potential in Three Dimensions 339 9.7 Retrospective 343 References Problems 10 The hydrogen atom 347 10.1 The Radial Equation--Energy Eigenvalues 10.2 Degeneracy of the Energy Eigenvalues 10.3 The Radial Equation--Energy Eigenfunctions 10.4 The Complete Energy Eigenfunctions 10.5 Retrospective 362 10.6 References Problems 11 Angular momentum-Encore 365 11.1 The Classical Kepler Problem 11.2 The Quantum Mechanical Kepler Problem 11.3 The Action of A+ 11.4 Retrospective 11.5 References 372 Problems 372xiv Contents 8.5.1 Matrix Representation of the Spin Operators and Eigenkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.5.2 The Stern–Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.6 Addition of Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 8.6.1 Examples of Angular Momentum Coupling . . . . . . 277 8.6.2 Spin and Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.7 The Vector Model of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.8 Retrospective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 9 Central Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.1 Separation of the Schr¨odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9.1.1 The Effective Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.1.2 Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 9.1.3 Behavior of the Wave Function for Small and Large Values of r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 9.2 The Free Particle in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.3 The Infinite Spherical Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.4 The Finite Spherical Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.5 The Isotropic Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 9.5.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.5.2 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.6 The Morse Potential in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.7 Retrospective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10 The Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 10.1 The Radial Equation—Energy Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 10.2 Degeneracy of the Energy Eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 10.3 The Radial Equation—Energy Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.4 The Complete Energy Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 10.5 Retrospective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 11 Angular Momentum—Encore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.1 The Classical Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.2 The Quantum Mechanical Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 11.3 The Action of Aˆ + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 11.4 Retrospective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 11.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372