欧拉公式的推广 定理9(欧拉公式的推广)对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G, 有:n-m+r=k+1(其中:n,m和分别为G的顶点数,边数和面数) 证明:设G有k个连通分支G1G23…,G,G的顶点数,边数和面数分 别为nm和『(i=1.k 由欧拉公式可知:n1-m+r1=2(i=1k) 有一、又m=E=1.mpn=E=1,k由于每个G有一个外部面,且G只 个外部面,所以,G的面数r=E11-k+1 于是,对上式(1)两边同时求和,得: 2K=2=1.k(nm+r=E=1kn121=1km1+E=1.kF1=nm+r+k-1 所以,经整理得nm+r=k+1。11 欧拉公式的推广 设G有k个连通分支G1, G2, …, Gk, Gi的顶点数, 边数和面数分 别为ni, mi和ri(i = 1..k). 由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2 (i = 1..k) (1) 又m = Σi=1..kmi, n = Σi=1..kni, 由于每个Gi有一个外部面, 且G只 有一个外部面, 所以, G的面数r = Σi=1..kri - k + 1。 于是, 对上式(1)两边同时求和, 得: 2k=Σi=1..k(ni-mi+ri)=Σi=1..kni - Σi=1..kmi + Σi=1..kri = n-m+r+k-1 所以, 经整理得 n-m+r = k+1。 证明: 定理9(欧拉公式的推广) 对于具有k(k ≥ 2)个连通分支的平面图G, 有: n-m+r = k+1(其中: n, m和r分别为G的顶点数, 边数和面数)