第6期 高文华，等：非完备决策信息系统中的不确定性度量 ·1101· 问题的求解也至关重要。近年来，研究者对非完 值域，则V=UaEA Va;信息函数f:U×A→V,表示 备信息系统或非完备决策系统的不确定度量取得 论域中每个对象在每个属性上均对应一个属性值。 了一系列非常重要且有意义的研究成果46。文 若在信息系统S中存在xeU、a∈A使得fx,a) 献[17刀对3种类型的决策表（完备、非完备和最 等于空值，其中空值用*表示，则称该信息系统为 大一致块)计算粗糙集的模糊性和粗略决策。文 非完备信息系统，记作IS。 献[18]在非完备决策系统中定义了一种条件嫡。 若A=CUd,C为有限的条件属性集，d为决策 而进一步研究发现，该条件嫡对知识粒度不具有 属性，Cnd=、V=UascV.、f:U×(CUd)→V,则称 单调性，这使得评估不完备决策系统中的不确定 之为决策信息系统，记作DS。若*∈Vc、*Va, 性变得不那么合理。文献[19]进一步研究非完备 则称决策信息系统为DS。 决策系统的不确定性度量，提出对知识粒度变化 在非完备信息系统中，由于一些缺失值的存 敏感且具有单调性的条件熵。虽然这些度量值随 在，完备信息系统中的等价关系已不适用于辨别 着知识粒度的变化而改变，但没有充分考虑由于 任意两个对象间的关系。Kryszkiewicz2I运用较 属性值缺失引起的不确定性。因此，构造既具有 弱的相容关系刻画非完备信息系统中对象之间的 知识粒度单调性又可体现属性缺失的不确定性度 相似性关系，进一步刻画概念的上、下近似。 量具有重要的意义。 定义1相容关系T(P)定义为： 非完备多属性决策问题是一类重要的多属性 T(P)=((u,v)EUXUNaEP,a(u)=a(v)va(u)=*Va(v)=*) 决策问题。属性权重的合理设定是获得可信决策 (1) 结果的保障；属性缺失值填充是有效集结不同属 T(P)是论域U上的相容关系，满足自反性和 性信息的关键。目前属性权重确定方法大都基于 对称性。在非完备信息系统中，相容关系指的是 完备描述的多属性决策问题。文献[20]基于嫡权 将缺失值看作与任何同属性下的已知值有相等的 法设定属性权重。文献21]利用优势粗糙集中属 可能性的一种描述。对象u在知识P下与对象v 性的综合优势度来确定多属性决策中的属性权 可能的不可区分的相容类为T(W)={v∈UI(u,)∈ 重。文献[22]基于信息量确定属性权重。上述赋 T(P)小，山，v∈U,称T(w为相容关系下的信息粒度。 权方法是从信息论的角度来计算的属性权重，不 12非完备信息系统中的不确定性度量 再依赖于数据分布，且具有客观性。属性缺失值 非完备信息系统中的信息熵在文献[14]中首 的填充方法通常使用统计分析法和最近邻法等填 次进行了深入的探讨与研究。 充方法将非完备系统完备化，然而，在特定情况 定义21在非完备信息系统IS=(U,A,V 下，这些填充方法填充的结果会与实际数据产生 中，PcA,属性P在论域U上的信息嫡定义为： 偏离，从而导致不尽合理的决策结果。 1 u ITp(u) log 本文考虑条件属性值缺失的情形，提出了一 HP)= U (2) 种新的条件熵用以刻画非完备决策系统中的知识 式中：T(u)是非完备信息系统中在U上定义的 不确定性程度，同时分析新的条件熵具有有界、 相容关系下的相容类；U1表示集合U的基数。 单调以及完备可退化的特性。此外，将新条件嫡 文献[14)对非完备信息系统的不确定性度量 应用于非完备多属性决策问题求解中，提出一种 进行了研究，文献[18]进一步考虑了非完备决策 基于条件熵的非完备多属性决策方法。该方法以 信息系统中的不确定性度量，提出了条件信息熵 条件熵为统领，确定属性权重并以最小条件熵为 的概念。 准则选择填充值，以此更加客观地求解现实中存 定义311 DS=(U,CU{d),V,f)为非完备决策 在的非完备多属性决策问题，并获得合理有效的 信息系统，P,QsCU{d)。属性Q相对属性P的条 决策结果。最后应用房屋评测实例说明所提方法 件熵定义为： 的有效性与合理性。 To(u)nTr(u) H(QIP)=- 〉log IT(u) (3) 1相关概念 其中T()与To(w)是非完备信息系统中在U上 1.1基本定义 定义的相容关系下的相容类。 信息系统S=(U,Vf,A)是一个4元组，其中 文献[19]进一步对文献[18]中的条件信息嫡 U是由对象构成的非空有限集合，称为论域。A为 进行了改进，提出一种满足单调性的条件熵度量 有限属性集，V。为属性a的值域，V为属性集A的 公式。问题的求解也至关重要。近年来，研究者对非完 备信息系统或非完备决策系统的不确定度量取得 了一系列非常重要且有意义的研究成果[14-16]。文 献 [17] 对 3 种类型的决策表 (完备、非完备和最 大一致块) 计算粗糙集的模糊性和粗略决策。文 献 [18] 在非完备决策系统中定义了一种条件熵。 而进一步研究发现，该条件熵对知识粒度不具有 单调性，这使得评估不完备决策系统中的不确定 性变得不那么合理。文献 [19] 进一步研究非完备 决策系统的不确定性度量，提出对知识粒度变化 敏感且具有单调性的条件熵。虽然这些度量值随 着知识粒度的变化而改变，但没有充分考虑由于 属性值缺失引起的不确定性。因此，构造既具有 知识粒度单调性又可体现属性缺失的不确定性度 量具有重要的意义。 非完备多属性决策问题是一类重要的多属性 决策问题。属性权重的合理设定是获得可信决策 结果的保障；属性缺失值填充是有效集结不同属 性信息的关键。目前属性权重确定方法大都基于 完备描述的多属性决策问题。文献 [20] 基于熵权 法设定属性权重。文献 [21] 利用优势粗糙集中属 性的综合优势度来确定多属性决策中的属性权 重。文献 [22] 基于信息量确定属性权重。上述赋 权方法是从信息论的角度来计算的属性权重，不 再依赖于数据分布，且具有客观性。属性缺失值 的填充方法通常使用统计分析法和最近邻法等填 充方法将非完备系统完备化，然而，在特定情况 下，这些填充方法填充的结果会与实际数据产生 偏离，从而导致不尽合理的决策结果。 本文考虑条件属性值缺失的情形，提出了一 种新的条件熵用以刻画非完备决策系统中的知识 不确定性程度，同时分析新的条件熵具有有界、 单调以及完备可退化的特性。此外，将新条件熵 应用于非完备多属性决策问题求解中，提出一种 基于条件熵的非完备多属性决策方法。该方法以 条件熵为统领，确定属性权重并以最小条件熵为 准则选择填充值，以此更加客观地求解现实中存 在的非完备多属性决策问题，并获得合理有效的 决策结果。最后应用房屋评测实例说明所提方法 的有效性与合理性。 1 相关概念 1.1 基本定义 S = ⟨U,V, f,A⟩ U A Va a V A 信息系统 是一个 4 元组，其中 是由对象构成的非空有限集合，称为论域。 为 有限属性集， 为属性 的值域， 为属性集 的 值域，则 V = ∪a∈AVa；信息函数 f : U × A → V ，表示 论域中每个对象在每个属性上均对应一个属性值。 S x ∈ U、a ∈ A f(x,a) IS 若在信息系统 中存在 使得 等于空值，其中空值用*表示，则称该信息系统为 非完备信息系统，记作 。 A = C ∪d C d C ∩d = ϕ、V = ∪a∈CVa、f : U ×(C ∪d) → V, DS ∗ ∈ VC、∗ < Vd IDS 若 , 为有限的条件属性集， 为决策 属性， 则称 之为决策信息系统，记作 。若 ， 则称决策信息系统为 。 在非完备信息系统中，由于一些缺失值的存 在，完备信息系统中的等价关系已不适用于辨别 任意两个对象间的关系。Kryszkiewicz[23] 运用较 弱的相容关系刻画非完备信息系统中对象之间的 相似性关系，进一步刻画概念的上、下近似。 定义 1 T(P) [23] 相容关系 定义为： T(P)={(u, v) ∈ U×U |∀a∈P,a(u)=a(v)∨a(u)=∗∨a(v)=∗} (1) T(P) U u P v {v ∈ U |(u, v) ∈ T(P)} u, v ∈ U TP(u) 是论域 上的相容关系，满足自反性和 对称性。在非完备信息系统中，相容关系指的是 将缺失值看作与任何同属性下的已知值有相等的 可能性的一种描述。对象 在知识 下与对象 可能的不可区分的相容类为 TP(u) = ， ，称 为相容关系下的信息粒度。 1.2 非完备信息系统中的不确定性度量 非完备信息系统中的信息熵在文献 [14] 中首 次进行了深入的探讨与研究。 IS = ⟨U,A,V, f⟩ P ⊆ A P U 定义 2 [14] 在非完备信息系统 中， ，属性 在论域 上的信息熵定义为： H(P) = − 1 U ∑ |U| i=1 log |TP(ui)| |U| (2) TP(ui) U |U| U 式中： 是非完备信息系统中在 上定义的 相容关系下的相容类； 表示集合 的基数。 文献 [14] 对非完备信息系统的不确定性度量 进行了研究，文献 [18] 进一步考虑了非完备决策 信息系统中的不确定性度量，提出了条件信息熵 的概念。 IDS = ⟨U,C ∪{d},V, f⟩ P,Q ⊆ C ∪{d} Q P 定义 3 [18] 为非完备决策 信息系统， 。属性 相对属性 的条 件熵定义为： H1(Q|P) = − 1 |U| ∑m i=1 log   TQ(ui)∩TP(ui)    |TP(ui)| (3) 其中 TP(ui) 与 TQ(ui) 是非完备信息系统中在 U 上 定义的相容关系下的相容类。 文献 [19] 进一步对文献 [18] 中的条件信息熵 进行了改进，提出一种满足单调性的条件熵度量 公式。 第 6 期 高文华，等：非完备决策信息系统中的不确定性度量 ·1101·