第三章向量值函数与空间曲线 阶的导数依此类推,我们有 若向量函数f(1)的n阶导函数ro(t)连续,则称F()是C类 的向量函数,记作F()∈C 向量函数f(1)∈C"的充要条件是它的每一个分量 x(t)y(t)-()∈Cn。 为了能讨论图形的更多的几何性质,以后在讨论向量函数时 都假定f(1)在所需要的阶数内是可微的,不再作单独说明。 (4)向量函数的 Taylor公式: 设向量函数r()=(x()y()、z()∈C"[a,b则其中三个数 值函数在点t∈(a,b)处可展成(n-1)阶泰勒公式,得 x(+△)=x()+x"(D)△+ x"(t) (△t)2+ (2)(△) y(+M)=y()+y(o+210)(△)+ (m)、m1,ym(2) (t+△r)=(1)+( 2! 其中ξ,ξ,ξ,是三个在t与t+Δt之间的值,t看成固定值,以 上三式等价于下面量函数的式子: (n-1) r(+M)=r()+r'(t)M+xr"(1)2+…+ (△)y+Rn1(△)”, 其中Rn-n 1(o(5)y°(5A2="( 上式称为向量函数f()在点t∈(a,b)处的n-1阶泰勒公式 注意其中反一般不能写成1r((),(在t+M之间,的形式, 因为R中三个分量分别取值于ξ,,ξ3,而它们一般是不相等 的,这和数量函数的泰勒公式不同。 由于r(t)∈C",x(1),ym(),=m(t)都是t的连续函数,而ξ, 52,23又都在t和t+△t之间,所以 瓦=1("(5)y"(2)=(5 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 阶的导数依此类推，我们有 n n n n T r (t) (x (t), y (t),z (t)) ( ) ( ) ( ) ( ) =  。 若向量函数 r(t)  的 n 阶导函数 ( ) ( ) r t  n 连续，则称 r(t)  是 C n类 的向量函数，记作 n r(t) C  。 向量函数 n r(t) C  的充要条件是它的每一个分量 ( ) ( ) ( ) n x t , y t ,z t C 。 为了能讨论图形的更多的几何性质，以后在讨论向量函数时， 都假定 r(t)  在所需要的阶数内是可微的，不再作单独说明。 (4) 向量函数的 Taylor 公式： 设向量函数 r(t) (x(t) y(t) z(t)) C [a,b] T n = 、 、   则其中三个数 值函数在点 t (a,b) 处可展成(n-1)阶泰勒公式，得 n n n n t n x t n x t t n x t x t t x t x t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , n n n n t n y t n y t t y t y t t y t y t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , n n n n t n z t n z t t z t z t t z t z t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , 其中1, 2, 3,是三个在 t 与 t+t 之间的值，t 看成固定值，以 上三式等价于下面量函数的式子： ( ) ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 2! 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1) 2 n n n n t R t n r t r t t r t r t t r t  +  − +  = +   +  + + − − −        其中 ( ) T n n n n x y z n R ( ), ( ), ( ) ! 1 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) −1 =     。 上式称为向量函数 r(t)  在点 t(a,b)处的 n-1 阶泰勒公式。 注意其中 Rn−1  一般不能写成 ( ) ! 1 ( )  n r n  , (在t,t + t之间) ,的形式， 因为 Rn−1  中三个分量分别取值于1, 2, 3，而它们一般是不相等 的，这和数量函数的泰勒公式不同。 由于 ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r t C x t y t z t n n n n   都是 t 的连续函数，而1, 2, 3又都在 t 和 t+t 之间，所以 ( ) T n n n n x y z n R ( ), ( ), ( ) ! 1 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) −1 =    