成立。证明:若∑v(x)在(an,b)上点态收敛于一个连续函数,则 ∑un(x)也必然收敛于一个连续函数。 证设任意闭区间c,dc(anb)。由于vn(x)≥0在[c,d连续,和函数 x)在e,d连续,则由Din定理可知∑vx)在c,一致收敛。于 是由 Cauchy收敛原理,可知vE>0,N,Ⅶm>n>N,wx∈[e,d],成 n+1(x)+ln+2(x)+…+lm(x)≤vn1(x)+Vn+2(x)+…+Vm(x)<E, 此即说明∑un(x)在[c,d一致收敛,因此∑un(x)在cd连续。由于 cd]<(ab)的任意性,即得到∑u1(x)在(a.b)连续 8.设函数项级数∑u1(x)在x=a与x=b收敛,且对一切n∈N n(x)在闭区间[ab上单调增加,证明:∑un(x)在[ab]上一致收敛。 证由于∑un(x)在x=a与x=b收敛,由 Cauchy收敛原理,可知 E>0,3N,m>n>N,成立∑u(a)<与∑(b)<s。 再由u(x)在a,b]上的单调增加性,可知对一切x∈[a,b,成立 2(x)≤max∑vk(a)∑(b 此即说明∑un(x)在[ab]上一致收敛 9.设对一切n∈N,1(x)在xa右连续,且∑n(x)在x=a发散,证明: 对任意8>0,∑un(x)在(a,a+8)上必定非一致收敛。成立。证明：若 在(a, b)上点态收敛于一个连续函数，则 也必然收敛于一个连续函数。 ∑ ∞ =1 ( ) n n v x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 证 设任意闭区间[c, d] ⊂ (a,b)。由于vn (x) ≥ 0在[c, d]连续，和函数 ∑ ∞ =1 ( ) n n v x 在[c, d]连续，则由 Dini 定理可知∑ 在 一致收敛。于 ∞ =1 ( ) n n v x [c, d] 是由 Cauchy 收敛原理，可知∀ε > 0，∃N ，∀m > n > N ，∀x ∈[c, d]，成 立 ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n+ + n+ +"+ m ≤ + + + < ε + + ( ) ( ) ( ) 1 2 v x v x v x n n " m ， 此即说明 在 一致收敛，因此 在 连续。由于 的任意性，即得到 在 连续。 ∑ ∞ =1 ( ) n n u x [c, d] ∑ ∞ =1 ( ) n n u x [c, d] [c, d] ⊂ (a,b) ∑ ∞ =1 ( ) n n u x (a,b) 8. 设函数项级数 ∑ 在x = a与x = b收敛，且对一切n∈N ∞ =1 ( ) n n u x + ， un (x)在闭区间[a,b]上单调增加，证明：∑ 在[a, b]上一致收敛。 ∞ =1 ( ) n n u x 证 由于∑ 在 x = a 与 x = b 收敛，由 Cauchy 收敛原理，可知 ∞ =1 ( ) n n u x ∀ε > 0，∃N ，∀m > n > N ，成立 ∑ < ε = + m k n k u a 1 ( ) 与 ∑ < ε = + m k n k u b 1 ( ) 。 再 由 un(x) 在 [a,b] 上的单调增加性，可知对一切 x ∈[a,b] ，成立 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ ≤ ∑ ∑ = + = + = + m k n k m k n k m k n k u x u a u b 1 1 1 ( ) max ( ), ( ) < ε ， 此即说明∑ 在[a, b]上一致收敛。 ∞ =1 ( ) n n u x 9. 设对一切n∈N+ ，un (x)在x= a右连续，且∑ 在x = a发散，证明： 对任意δ＞0， 在(a, a +δ)上必定非一致收敛。 ∞ =1 ( ) n n u x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 8