体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 质点对的有向线元rab之间的关系,可基于微分学获得 aX rab=X(x(+△,t),t)-X(x(E,+,1)=(x,1)A()△FA ax (1(△A=(t0a,18G'()·(△G() F·Tab, 此处F称为当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的变形梯度.现变形梯 度的形式同一般有限变形理论变形梯度的形式,只是现当前物理构型上局部基,如局部协变基 9(x,t,显含时间 12基础性引理 为研究变形梯度的基本性质,需要以下引理 引理11(变形关系行列式物质导数). 次(s,1)=mnH(ms,/a 次)(s0 证明基于置换算子,相关方阵行列式可表示如下 0-)(Es) art arm 由此,可有 (Ss, t) ax ax2 ax axm- axm (Es, t) ∑ ∑ 3 ais arm (EE, t) dis i=1a∈Pn Orgas, t)OE dso(es, t/ asa(my(Ez,t) 2(2) ono a(m) (Es, t) ①简称为曲线坐标系显含时间有限变形理论 ②此引理既适用于体积形态连续介质有限变形,也适用于曲面形态连续介质有限变形理有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 质点对的有向线元 rab| t V 之间的关系, 可基于微分学获得 rab| t V = X(x(ξ + ∆ξ, t), t) − X(x(ξ, t), t) = ∂X ∂xi (x, t) ∂xi ∂ξA (ξ)∆ξ A = ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t)∆ξ A = [ ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ GA(ξ) ] · (∆ξ BGB(ξ)) =: F · rab| ◦ V , 此处 F 称为当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论➀的变形梯度. 现变形梯 度的形式同一般有限变形理论变形梯度的形式, 只是现当前物理构型上局部基, 如局部协变基 gi (x, t), 显含时间. 1.2 基础性引理 为研究变形梯度的基本性质, 需要以下引理➁. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 由此, 可有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ   ˙ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ ∂x2 Σ ∂ξσ(2) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ + · · · + ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm−1 Σ ∂ξσ(m−1) Σ ˙ ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ   ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ˙ ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂x˙ i Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ (ξΣ, t)· · · ( ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ (ξΣ, t) ) · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) ] = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). ➀ 简称为曲线坐标系显含时间有限变形理论. ➁ 此引理既适用于体积形态连续介质有限变形, 也适用于曲面形态连续介质有限变形理论. 2