习题 2-1.质量为m的子弹以速度v水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反 向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹的重力,求:(1)子弹射入沙 土后,速度随时间变化的函数式:(2)子弹进入沙土的最大深度。 解:(1)由题意和牛顿第二定律可得:f=-kv=m 分离变量,可得:kdhv 两边同时积分,所以:v=ve dt (2)子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移,则 k d 可推出:d=-m如,而这个式子两边积分就可以得 k 到位移:x ∫w=「-h=m 2-2.一条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为(5O L,一端拴在竖直转轴OO′上,并以恒定角速度⑨在水 平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略 重力,求距转轴为r处绳中的张力T(r) 解:在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子,假设其 质量为dm,可知:dm≈a 分析这dm的绳子的受力情况,因为它做的是 圆周运动,所以我们可列出:dT()=037cm=o2nMtb L 距转轴为r处绳中的张力7(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力,所以 两边积分:T(r)=[a()=A(L2 2L1 习题 2-1. 质量为 m 的子弹以速度 0 v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反 向，大小与速度成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙 土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意和牛顿第二定律可得： dt dv f = −kv = m ， 分离变量，可得： vdt dv m k − = 两边同时积分，所以： t m k v v e − = 0 （2）子弹进入沙土的最大深度也就是 v=0 的时候子弹的位移，则： 由 vdt dv m k − = 可推出： dv k m vdt = − ，而这个式子两边积分就可以得 到位移： 0 0 max 0 v m m x vdt dv v k k = = − =   。 2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为 M 、长度为 L ，一端拴在竖直转轴 OO′上，并以恒定角速度  在水 平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略 重力，求距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)． 解：在绳子中距离转轴为 r 处取一小段绳子，假设其 质量为 dm，可知： L Md dm = ，分析这 dm 的绳子的受力情况，因为它做的是 圆周运动，所以我们可列出： L Mdr dT r rdm r 2 2 （ ）=  =  。 距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)将提供的是 r 以外的绳子转动的向心力，所以 两边积分： （ ） （ ） （ 2 2） 2 2 L r L M T r dT r L r = = −  