第四章微分 习题4.1微分和导数 1.半径为lcm的铁球表面要镀一层厚度为0.0lcm的铜,试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为89gcm3。) 解球体积V 4 每只球镀铜所需要铜的质量为 ≈4 1.12g 2.用定义证明,函数y=x2在它的整个定义域中,除了x=0这 点之外都是可微的 证当x=0时,4y=MAx2是Ax的低阶无穷小,所以y=x在x=0不可 微。当x≠0时 △y=(x+△x)2-yx2 Ax+O(Ax) x+△x) 所以y=√x2在x≠0是可微的。第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 ⒈ 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9g/ cm3。） 解 球体积 3 3 4 V = πr ，每只球镀铜所需要铜的质量为 4 1.12 2 m = ρ∆V ≈ ρπr ∆r ≈ g。 ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0这一 点之外都是可微的。 证 当 x = 0时， 3 2 ∆y = ∆x 是∆x 的低阶无穷小，所以 y = x 3 2 在 不可 微。当 时， x = 0 x ≠ 0 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ( ) ( )( 2 ( ), ( ) 3 y x x x x x x x x x x x x 3 ) x x o x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − + ∆ + = ∆ = + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ 所以 y = x 3 2 在 x ≠ 0是可微的。 57