TExample (Polya罐子模型)罐中放有a个白球和b个黑球，每次从罐中 随机抽取一个球，并连同c个同色球一起放回罐中，如此反复进行.试 证明：在第n次取球时取出白球的概率为年。· ↓Example 证： Previous Next First Last Back Forward 14↑Example ( Polya 罐子模型) 罐中放有 a 个白球和 b 个黑球, 每次从罐中 随机抽取一个球, 并连同 c 个同色球一起放回罐中, 如此反复进行. 试 证明: 在第 n 次取球时取出白球的概率为 a a+b . ↓Example 证: 以 Ak 表示在第 k 次取球时取出白球的事件, 于是 A c k 就是在第 k 次取球时取出黑球的事件. 我们来对 n 作归纳. 显然有 P(A1) = a a+b . 假设 n = k−1, k ≥ 2 时结论成立, 要证 n = k 时结论也成立. 我们以 A1 和 A c 1 作为对 Ω 的一个分划. 注意此时可将 P(Ak|A1) 看成是从 原来放有 a + c 个白球和 b 个黑球的罐中按规则取球, 并且在第 k − 1 次取球时取出白球的概率, 因此由归纳假设知 P(Ak|A1) = a+c a+b+c , 同 理亦有 P(Ak|A c 1) = a a+b+c , 于是由全概率公式得 P(Ak) = P(A1)P(Ak|A1) + P(A c 1)P(Ak|A c 1) = a a + b a + c a + b + c + b a + b + c a a + b + c = a a + b . Previous Next First Last Back Forward 14