Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 于是M(1+2)=2z+∑=0n-02=2z+∑(=(<1) 还可取其他分支:M1+2)=2m+∑ (X)例2:在z=0的邻域展开(1+=)(a为非整数)。 解:(1+z)"的支点为z=-1和z=∞,由z=-1沿负实轴到z=∞作割线(当然有 其它作法,只是这样作割线,其收敛半径最大) 取单值分支:规定上岸arg(1+)==x,则下岸arg(1+)=0=-丌.因此, z=-1+pe"(-<p<).那么,z=0=-1+1·e0.于是 d +2 dz (1+=)2 a(a-1 Q(1+) (a-1)…(a-n+1)(1+-) 因此,(1+)=1+∑ a(a-1)(a-n+1) n (=|<1) 若取另一单值分支:规定上岸arg(1+z)==3z,则下岸arg(+)=q=r 因此 q<3r)那么z=0=-1+1·e2x.于是 (1+=) (1e2)2 1)…(a-n+1)(1+=) d-n+Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 14 于是                 1 1 1 1 ( 1) 2 ! ( 1) ( 1)! ln(1 ) 2 n n n n n n z n z i n n z i  （ z 1 ） 还可取其他分支:         1 1 ( 1) ln(1 ) 2 n n n z n z ki . （X）例 2：在 z  0 的邻域展开  (1 z) （  为非整数）。 解：  (1 z) 的支点为 z  1 和 z   ，由 z  1 沿负实轴到 z   作割线（当然有 其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。 取单值分支：规定上岸 arg(1 z)   ，则下岸 arg(1 z)    . 因此，   i z  1 e (  ). 那么， 0 0 1 1 i z     e . 于是 (1 ) (1 ) 1 0 0       i  z z e ,                        1 0 1 1 1 0 (1 ) 1 1 1 1 d d 0 i z e z z z e z i ,         0 2 2 2 0 2 1 1 0 d (1 ) 1 1 1 1 1 1 d 1 , i i z e z z z e z                            … …          0 1 1 0 d (1 ) 1 1 1 d 1 1 . i n n n z e z z n z z n                        因此，            1 ! 1 ( 1) (1 ) 1 n n z n n z      ( 1). z  若取另一单值分支：规定上岸 arg(1 z)   3 ，则下岸 arg(1 z)   . 因此   i z  1 e (   3). 那么 2 0 1 1 i z      e . 于是      2 2 1 (1 ) (1 ) 2 i i z e z e e  i      ，          2 1 1 0 2 d (1 ) 1 1 1 d 1 1 . i n n n z e z i z n z z n e                         