其中 201 B -1 B的3个 Gerschgorin圆盘为 D:{|=-21s} D:{非+% D:{-5% 都是孤立圆盘。故A的特征值分布为 ≤A≤3,1≤2≤3,≤λ≤3 定义3设A=(an)m为实方阵,非零向量x=(x1,x2…,x)∈R",则称 R(x) (Ax, x) xAx (1.6) (x, x) x'x 为矩阵A的关于向量x的 Rayleigh(雷利)商。 定理10设A为n阶实对称矩阵,其特征值排列次序为A≥A2≥…≥L,则 R(x) n,=min R(x) 证明由定理7,A是实数,且A有规范正交特征向量1,使得 (u;, ui )=8U 于是,对任何非零向量x∈R",有 从而 R(x) (Ax, x)i= ∑2∑a)∑ a2∑ax)∑ 推得n≤R(x)≤A1。特别地,若取x=1,则 R(1)=(Al12)=A1162 1 B P AP − = ， 其中 5 3 1 1 P     =       ， 3 6 5 5 5 3 2 0 1 -1 0 5 B     =       . B 的 3 个 Gerschgorin 圆盘为：       1 9 2 5 5 3 3 : 2 1 , : 1 , : 5 , D z z D z z D z z  −   +   −  都是孤立圆盘。故 A 的特征值分布为 14 4 10 20 5 5 3 3 1 2 3 −          , 1 3, . 定义 3 设 ( ) A a = ij n n 为实方阵，非零向量 1 2 ( , , , )T n n x x x x R =  ，则称 ( , ) ( ) ( , ) T T Ax x x Ax R x x x x x = = （1.6） 为矩阵 A 的关于向量 x 的 Rayleigh（雷利）商。 定理 10 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值排列次序为    1 2    n ，则 1 0 max ( ), n x R x  R x   = min ( ). 0 R x x x R n n    = （1.7） 证明 由定理 7， i 是实数，且 A 有规范正交特征向量 i u ，使得 , ( , ) Au u u u i i i i j ij = =   ， i, j = 1,2,  ,n. 于是，对任何非零向量 n x R  ，有 1 n i i i x u  = =  ， 从而 2 1 1 1 2 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) n n n i i i j j i i i j i n n n i i j j i i j i u u Ax x R x x x u u        = = = = = = = = =       ， 推得 1 ( )   n   R x 。特别地，若取 1 x u = ，则 1 1 1 1 R u Au u ( ) ( , ) = = 