第四章守恒量与对称性 §4.1量子力学里的守恒量 力学量的平均值随时间的演化 力学量A在态屮上的平均值是(设平与时间有关,然而已经归一) A=(平,Ay 而平满足 Schrodinger方程 hP 在一般情况下,H和A都可能与时间有关。现在我们观察A随时间的演化。 ap a ap p A 度里,A甲+甲,A甲 20时时 [A, HI 其中注意θ是 Hermitian算符。这就是(广义的) Ehrenfest定理。通常来说,我们考虑的算符A是不显 含时间的,即aA/Ot=0,所以 LA, H dt ih 如果取 A=p=-inv, H=P+v) 2 那么 B+F(F)|=-V,(=-V() 所以 d dt 这是 Ehrenfest定理的最初形式(1927年) 我们看到,量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程 -[A, HI 和经典力学里的“正则”运动方程 {A,H}1 非常类似,其中{A,B}PB.是力学量A(q12P1)和B(q1,P)的 Poisson(泊松)括号,定义为 aB dA (A, BiPB 而{A,H}pB中的H(q1,P)就是经典的 Hamiltonian。所以,在形式上,量子力学里的对易括号除以ih1 第四章 守恒量与对称性 §4.1 量子力学里的守恒量 1．力学量的平均值随时间的演化 力学量 A ˆ 在态  上的平均值是（设  与时间有关，然而已经归一） ˆ A A =   ( , ). 而  满足 Schrödinger 方程 1 ˆ . i H t   =   在一般情况下， H ˆ 和 A ˆ 都可能与时间有关。现在我们观察 A 随时间的演化。 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ , , , ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , i i ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , i i ˆ 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A A A dt t t t A H A A H t A HA AH t A A H t          =   +  +                          =   +   +                     =   −   +             = +        其中注意 H ˆ 是 Hermitian 算符。这就是（广义的）Ehrenfest 定理。通常来说，我们考虑的算符 A ˆ 是不显 含时间的，即 ˆ   = A t / 0 ，所以 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A H dt = 如果取 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ i , ( ), 2 p A p H V r m = = −  = + 那么 ˆ 2 1 ˆ , ( ) [ , ( )] ( ), i 2 p p V r V r V r m     + = −  = −     所以 ( ) ( ). d p V r f r dt = − = 这是 Ehrenfest 定理的最初形式（1927 年）。 我们看到，量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A H dt = 和经典力学里的“正则”运动方程 P.B. { , } dA A H dt = 非常类似，其中 P.B. { , } A B 是力学量 ( , ) A q p i i 和 ( , ) B q p i i 的 Poisson（泊松）括号，定义为 P.B. P.B. { , } { , } , i i i i i A B B A A B B A q p q p       = − = −          而 P.B. { , } A H 中的 ( , ) H q p i i 就是经典的 Hamiltonian。所以，在形式上，量子力学里的对易括号除以 i