如果$用到了ia,那么Pia($)=max Pis($) 其中pia($)=p($;a)。 证明： (必要性) 若$是一个均衡解，则对一切i,p($)=max{p($;r)}。 所有r 另一方面，由于支付函数p(S1,S2,,Sn)关于S是线性的，即 r=〉caia ps:)-∑aps:mw 所以 max{p($;r)}=max{p($;a)}…（*) 所有r 这表明除非π是参与人i的一个最优纯策略，否则$就没有用到πia。 (充分性) 若$用到了ia可以推出Pia($)=max Pis($),则所有满足pia($)<max Pis($) 的a,其对应的cia=0。 因而 pi($)=max{pi($;Tia)} 结合(*)式便知$是均衡解。 上述“均衡解”的概念由纳什博士首次提出，因而称为“纳什均衡”(Nash equilibrium)。值得一提的是，尽管上述定理表明均衡解只会用到最优纯策略， 但是这些纯策略并不一定唯一。换言之，纳什均衡不一定是纯策略均衡。 通过下面的两个例子，读者可以更好地理解以上概念。 例1少数服从多数的投票 上海交通大学考虑修建游泳馆，馆址在A,B,C三处地点中选出。学校采取投 票的形式确定选址，规则规定，由1,2,3三名学生代表参与投票，每人一票且不 能弃权。投票结果按照少数服从多数的原则，即 (1)如果某个选项获得绝对多数的选票，则决定在该处兴建游泳馆：如果$用到了πiα，那么piα $ = max β piβ $ 其中piα $ = pi $；πiα 。 证明： （必要性） 若$是一个均衡解，则对一切 i，pi $ = max 所有ri pi $；ri 。 另一方面，由于支付函数pi s1，s2，……，sn 关于si是线性的，即 ri = α ￾ ciαπiα pi $；ri = α ￾ ciα pi $；πiα 所以 max 所有ri pi $；ri = max α pi $；πiα ………………（ ∗ ） 这表明除非πiα是参与人 i 的一个最优纯策略，否则$就没有用到πiα。 （充分性） 若$用到了πiα可以推出piα $ = max β piβ $ ，则所有满足piα $ < max β piβ $ 的πiα，其对应的ciα = 0。 因而 pi $ = max α pi $；πiα 结合（*）式便知$是均衡解。 上述“均衡解”的概念由纳什博士首次提出，因而称为“纳什均衡”（Nash equilibrium）。值得一提的是，尽管上述定理表明均衡解只会用到最优纯策略， 但是这些纯策略并不一定唯一。换言之，纳什均衡不一定是纯策略均衡。 通过下面的两个例子，读者可以更好地理解以上概念。 例 1 少数服从多数的投票 上海交通大学考虑修建游泳馆，馆址在 A,B,C 三处地点中选出。学校采取投 票的形式确定选址，规则规定，由 1,2,3 三名学生代表参与投票，每人一票且不 能弃权。投票结果按照少数服从多数的原则，即 （1） 如果某个选项获得绝对多数的选票，则决定在该处兴建游泳馆；