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.1304 北京科技大学学报 第30卷 式中，B:、C:和D:均为常数，n为等分点数 点的坐标值是已知的：而其余的N一2个离散点的 采用三次样条函数插值需满足以下条件. 坐标值要根据具体情况取为变量或常数，这样，设 (1)插值条件. 计变量就为N一2~2(N一2)个，即： S(x)=y:(=1,2,…,n) (11) x=(x1,x2,,xk)(N-2)≤k≤2(N-2) (2)连接条件 (18) 在连接点x:处具有一阶和二阶导数，即： 式中，N为插值点数. s'(x:-0)=S'(x+0) (i=2,3,,） 一般情况下，将x取为常数，且沿X轴方向分 s"(x:-0)=s"(x:+0) 布均匀；而y为设计变量， (12) (2)约束条件的确定.将图4的破碎腔分为M (3)边界条件 个横截面，各截面处的生产（通过）率可以写成： 采用自然边界条件： 377noDS:(2b:十S:) tan aij十tan a2 (Gj=1,2,…,M) s"(xi)=s"(xn) (13) (19) 在任一区间上(x,x+1)上，根据牛顿插值法， 式中，no为动锥转速；D为定锥底部直径；S,为动 有： 锥衬板上第j点的水平行程；b:为对应动锥衬板上 S(x)=S(xi)+(x-xi)S(x,xi+1)+ 第j点处的破碎腔宽度，b;=xjtan?十y:μ为物料 (x一x:)(x一x+1)S:(x,xi,x+1) (14) 松散系数；为定锥衬板表面曲线上第j点处的切 式中， 线与X轴正向的夹角；2为动锥衬板轮廓线与X s(x+1）=sxt）二Sx) 轴正向的夹角，为已知常数， x计1一x: 为了保证破碎机的生产率，各截面处的生产率 S(x,x,+)=合[S”(x)十S"(x)+ 都应大于排料口处的生产率Q1,即： S"(x+1)]因S(x)是一个三次多项式，S(x)在 Q≥Q1 (20) (x,+1)上是一次多项式，因此 此外，定锥衬板曲线上各点处的切线都应满足啮角 S"(x)=S"(x)十(x-x)s"(xx+1)(15) 条件，即： a1≤27°-(j=1,2,…,M) (21) 对式(14)求导得： 各设计变量的取值范围为： S(x)=S(x,x+1)+ Cimin≤x≤Cimax(i=l,2,…,k) (22) (2x一x:x+1)S:(x,xi,+1)十 将上述各约束条件整理成标准形式，即： 合(x-)s(+） (16) 9:(x)≥0(i=1,2,…,2M+k-1)(23) 利用函数连续的条件，由此得到S"(x:)(i=2,3, 4.3目标函数的确定 …,n一1)满足三对角线方程组. 在满足上述约束条件的情况下，排料口处的生 对式(14)求二阶导数，得到： 产率为： (x-x-1)S"(x-1)十2(x+1-x-1)S"(x)十 377n0DS1(2b1+S)4 Q1= tan ail十tang (24) (x+1-x)S”(x,x+1)= 式(24)的值即为破碎机的生产率.显然，希望Q1 6(S(xi,xi+1)S(xi-1,xi)) 尽可能大，因而有： (=2,3,…,n-1) (17) -0 min (25) 根据以上方程组，先用追赶法求解方程组(17)， 然后就可以由式(14)、式(16)计算出衬板曲线上各 当破碎机的规格型号确定后，式(24)中的分子为常 点的函数值和一阶导数值，函数值的大小决定衬板 数，所以式(25)可以写成： 的形状，一阶导数值即为局部啮角，即1的正切函 Fz=tana1l十tan az min 数值， 而2也是常数，因此上式可以写： 4.2破碎腔型优化模型建立 F(x)-tan a11 min (26) (1)设计变量的选取，在图4中，定锥衬板曲线 综上所述，破碎腔的腔型设计可以归结为求解 上取N个离散点作为插值点，其中第1点和第N 以下方程组，即：式中Bi、Ci 和 Di 均为常数n 为等分点数． 采用三次样条函数插值需满足以下条件． （1） 插值条件． S（ xi）＝yi（ i＝12…n） （11） （2） 连接条件． 在连接点 xi 处具有一阶和二阶导数即： S′（ xi—0）＝S′（ xi＋0） S″（ xi—0）＝S″（ xi＋0） （ i＝23…n） （12） （3） 边界条件． 采用自然边界条件： S″（ xi）＝S″（ x n） （13） 在任一区间上（ xixi＋1）上根据牛顿插值法 有： S（ x）＝S（ xi）＋（ x— xi） S（ xxi＋1）＋ （ x— xi）（ x— xi＋1） Si（ xxixi＋1） （14） 式中 S（ xixi＋1）＝ S（ xi＋1）—S（ xi） xi＋1— xi ． S （ xxixi＋1） ＝ 1 6 ［ S″（ x ） ＋ S″（ xi）＋ S″（ xi＋1）］因 S （ x ）是一个三次多项式S （ x ）在 （ xixi＋1）上是一次多项式因此 S″（ x）＝S″（ x）＋（ x— xi） S″（ xixi＋1） （15） 对式（14）求导得： S′（ x）＝S（ xxi＋1）＋ （2x— xi— xi＋1） Si（ xxixi＋1）＋ 1 6 （ x— xi） S″（ xixi＋1） （16） 利用函数连续的条件由此得到 S″（ xi）（ i＝23 …n—1）满足三对角线方程组． 对式（14）求二阶导数得到： （ xi— xi—1） S″（ xi—1）＋2（ xi＋1— xi—1） S″（ xi）＋ （ xi＋1— xi） S″（ xixi＋1）＝ 6（ S（ xixi＋1）—S（ xi—1xi）） （ i＝23…n—1） （17） 根据以上方程组先用追赶法求解方程组（17） 然后就可以由式（14）、式（16）计算出衬板曲线上各 点的函数值和一阶导数值函数值的大小决定衬板 的形状一阶导数值即为局部啮角即 α1j的正切函 数值． 4∙2 破碎腔型优化模型建立 （1） 设计变量的选取．在图4中定锥衬板曲线 上取 N 个离散点作为插值点其中第1点和第 N 点的坐标值是已知的；而其余的 N—2个离散点的 坐标值要根据具体情况取为变量或常数．这样设 计变量就为 N—2～2（ N—2）个即： x＝（ x1x2…xk） T （ N—2）≤k≤2（ N—2） （18） 式中N 为插值点数． 一般情况下将 x 取为常数且沿 X 轴方向分 布均匀；而 y 为设计变量． （2） 约束条件的确定．将图4的破碎腔分为 M 个横截面各截面处的生产（通过）率可以写成： Qj＝ 377n0DSj（2bj＋Sj）μ tanα1j＋tanα2 （ j＝12…M） （19） 式中n0 为动锥转速；D 为定锥底部直径；Sj 为动 锥衬板上第 j 点的水平行程；bj 为对应动锥衬板上 第 j 点处的破碎腔宽度bj＝ xjtanα2＋yj；μ为物料 松散系数；α1j为定锥衬板表面曲线上第 j 点处的切 线与 X 轴正向的夹角；α2 为动锥衬板轮廓线与 X 轴正向的夹角为已知常数． 为了保证破碎机的生产率各截面处的生产率 都应大于排料口处的生产率 Q1即： Qj≥ Q1 （20） 此外定锥衬板曲线上各点处的切线都应满足啮角 条件即： α1j≤27°—α2 （ j＝12…M） （21） 各设计变量的取值范围为： Cimin≤ xi≤Cimax （ i＝12…k） （22） 将上述各约束条件整理成标准形式即： gi（ x）≥0 （ i＝12…2M＋k—1） （23） 4∙3 目标函数的确定 在满足上述约束条件的情况下排料口处的生 产率为： Q1＝ 377n0DS1（2b1＋S1）μ tanα11＋tanα2 （24） 式（24）的值即为破碎机的生产率．显然希望 Q1 尽可能大因而有： F1＝ 1 Q1 →min （25） 当破碎机的规格型号确定后式（24）中的分子为常 数所以式（25）可以写成： F2＝tanα11＋tanα2→min． 而 α2 也是常数因此上式可以写： F（ x）＝tanα11→min （26） 综上所述破碎腔的腔型设计可以归结为求解 以下方程组即： ·1304· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷