f(0)=lim I sin Ax|- sin O I Ax→0+ f(O)= lim Isin Ax|-Isin0l= lim sinv2-l →0-△x 所以x=0是不可导点。又由于函数y是周期为x的函数,所有不可导 点为x=kz(k∈Z),且∫(k)=-1,f(kr)=1。 (2)y=/()-0x=3m2、mn2,由(1)可知不可导点 为x=2kz(k∈2),且经计算得到f(2kx)=- 2,A(kr)=v2 (3)y=f(x)=e不可导点只有x=0,且 f(0=li →0+△ ∫2(0)=lin (4)y=f(x)=n(x+1)不可导点只有x=0,且 ln(△x+1)|-ln1 n(△x+1) f(0)=lim Ax→0+ f∫(0)=lin n(△x+1)|-ln1 li 7.讨论下列函数在x=0处的可导性 x|sin1、(a>0)x≠0, (1)y= (2)y 0 ax+b,x≤0, (3)y= 0 2,x≤0; =0. 解(1)2=四(4r,所以函数 在x=0可导 (2)如果函数在x=0可导,则必须在x=0连续,由f(+)=f(0)=b 可得b=0。当b=0时,O)=mAx2-0=0,f(0)=△ 01 sin lim |sin | | sin 0 | (0) lim 0 0 ' = ∆ ∆ = ∆ ∆ − = ∆ → + ∆ → + + x x x x f x x ， ' 0 0 |sin | |sin 0 | sin (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ = = = − ∆ ∆ ， 所以 x = 0是不可导点。又由于函数y是周期为π 的函数，所有不可导 点为 x = kπ (k ∈ Z)，且 ′( ) = −1 f− kπ ， ′( ) =1 f+ kπ 。 （2）y = f x( ) = −1 cos x 2 2sin 2 sin 2 2 x x = = ，由（1）可知不可导点 为 x = 2kπ (k ∈ Z) ，且经计算得到 2 (2 ) 2 f k − ′ π = − ， 2 (2 ) 2 f k + ′ π = 。 （3） y f = ( ) x = e−|x| 不可导点只有 x = 0，且 1 1 (0) lim 0 ' = − ∆ − = −∆ ∆ → + + x e f x x ， 1 1 (0) lim 0 ' = ∆ − = ∆ ∆ → − − x e f x x 。 （4） y f = = ( ) x ln(x +1) 不可导点只有 x = 0，且 ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ + − ∆ + = = = ∆ ∆ ， ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ + − − ∆ + = = = − ∆ ∆ 。 7．讨论下列函数在 x = 0处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; ⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 解 （1） 1 0 0 0 1 | | sin 1 lim lim lim | | sgn( )sin 0 a a x x x x y x x x x x x + ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎝ ⎠ = ，所以函数 在 x = 0可导。 （2）如果函数在 x = 0可导，则必须在 x = 0连续，由 可得 。当 时， f (0+) = f (0) = b b = 0 b = 0 0 0 (0) lim 2 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ → + + x x f x ， a x a x f x = ∆ ∆ − = ∆ → − − 0 (0) lim 0 ' ， 61