体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 v⑧=aε I(,t)GL=Ov Oa r(,)a(t)|8a 7(208y1./ x(1)918G2 (V⑧口)·F=L·F, 可有 V80: T=(LF):(FT)=tr(F"L'FT tr[(F"L'F)T"=tr(F*LFT) =tr(F"DFT)=(F"DF): T 计算 almansi应变张量E(F“F-D),有 e=2(FF+FF)=2(ELF+F"LF)=PDE 故有 ⑧ E: 综上,有 Lagrange型能量守恒微分方程 Be=E:T-kF(F"F)-1·(口 此处T全F|F-1·t·F-为第二类 Piola-Kirchhoff应力张量.e可理解为单位体积固定质点 系统所具有的内能 2应用事例 3建立路径 守恒律方程的推导,首先按自然界中的守恒律列出物质体上的积分关系式,然后结合物质 体输运定理获得积分型及微分型关系式.本讲稿推导了质量守恒,动量守恒,动量矩守恒以 及能量守恒的 Euler型以及 Lagrange型微分方程 值得指出,质量守恒因为同介质的物性完全无关,故可隶属运动学,而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 由 V ⊗ ◦ = ∂V ∂ξL (ξ, t) ⊗ GL = [ ∂V ∂xl (x, t) ∂xl ∂ξL (ξ, t) ] ⊗ GL = [ ∂V ∂xl (x, t) ⊗ g l ] · [ ∂xi ∂ξL (ξ, t)gi ⊗ GL ] = (V ⊗ ) · F = L · F, 可有 ( V ⊗ ◦ ) : τ = (LF) : (F T ) = tr(F ∗L ∗F T ) = tr[(F ∗L ∗F) ∗ T ∗ ] = tr(F ∗LF T ) = tr(F ∗DF T ) = (F ∗DF) : T . 计算 Almansi 应变张量 E , 1 2 (F ∗F − I), 有 E˙ = 1 2 ( F˙ ∗ F + F ∗F˙ ) = 1 2 (F ∗L ∗F + F ∗LF) = F ∗DF, 故有 ( V ⊗ ◦ ) : τ = E˙ : T . 综上, 有 Lagrange 型能量守恒微分方程 ◦ ρe˙ = E˙ : T − [ k|F|(F ∗F) −1 · ( ◦ T )] · ◦ + ◦ ρqm. 此处 T , |F|F −1 · t · F −∗ 为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量. ◦ ρe 可理解为单位体积固定质点 系统所具有的内能. 2 应用事例 3 建立路径 • 守恒律方程的推导, 首先按自然界中的守恒律列出物质体上的积分关系式, 然后结合物质 体输运定理获得积分型及微分型关系式. 本讲稿推导了质量守恒, 动量守恒, 动量矩守恒以 及能量守恒的 Euler 型以及 Lagrange 型微分方程. • 值得指出, 质量守恒因为同介质的物性完全无关, 故可隶属运动学, 而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学. 5