第十三章向量分析 OX aX +Z=dxdy d(y+z=)a(x+z dxdy ar aY +2 OX aX azaZ ay aXa ar aX aZ d+/2.y X OX aZ ay az az a 最后的等式是由于 dx∧d= cos y ds,d∧d= cos a ds,dz∧dhx= cos Bds ==:-=;+k;元=(E-+k) CosC= cos COSy= cy∧ dz cos a ∧ dy cosy →dxAd=-^d dz a dx cos B →水Ad=-t∧ dx∧ dy cos y →nxdy=d∧di+d^dj+∧dk=dS 于是得到 Stokes公式 于++=x)=xF 当S由若干片光滑曲面S2…S组成时,可以首先对于各片曲 面S得到 Stokes公式 于xk+1+在=xF 第十三章向量分析第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 = z Z z dxdy z Z y Z z z z X y X y x y y x         +             +   +             +   ⚫ ( ) ( ) dxdy y X Z z x Y Z z y x           +  −   +  = = z dxdy z Z x Z z z z Y x Y x y x                  +    +          +   z dxdy z Z y Z z z z X y X y x y                    +   +             +   − = = z dxdy x Z z X z z Y y Z y X x Y x y                  −    −           −   −          −   = dz dx x Z z X dy dz z Y y Z dx dy y X x Y          −    +           −    +           −   最后的等式是由于： dx  dy = cos ds, dy  dz = cos ds, dz  dx = cos  ds, , n z i z j k x y     = −  −  + ; ( z i z j k ) n n x y      = −  −  + 1 0 ; n z x   cos = − , n z y   cos  = − , n  1 cos =  dx dy z dx dy dx dy dy dz =   = −  x      cos cos , dx dy z dx dy dx dy dz dx =   = −  y      cos cos  n dxdy dy dzi dz dx j dx dy k dS      =  +  +  = 于是得到 Stokes 公式. ( ) ( )    + + =    =    = S k S i S Xdx Ydy Zdz F dS F dS i      当 S 由若干片光滑曲面 S1 ,...,Sk 组成时, 可以首先对于各片曲 面 Si 得到 Stokes 公式: ( )   + + =   Si Si Xdx Ydy Zdz F dS   