E0只和n有关,能级对,m是简并的,在不计电子的自旋自度时简并度为 gn =n 显然,n=1时E0不简并,并且容易算出F=H1=0。m=2时g2=4,区分简并态的量子数1,m (前面记为i)可以取值00,10,11,1-1,以下依次简记为1,2,3,4。所以我们要计算 H=vimHvim d'r=eev2im ()rcos yim()rsing drdedg 表面看来我们要算16个积分,但是实际上由于对称性的关系其中有14个积分是零,剩下两个还相等。 非零的矩阵元是 Hi2=H21=eEJv200(v210(rsin@ cos0 drdedp 略去并不困难的计算过程,其结果是 H12=H21=-3eEa, 其中a是Bohr半径。所以我们应该求出下面这个矩阵的本征值从而得到E2): -eea -ee a H (≡0) 显然它有两个本征值是零,另外两个是±3eEa,所以 E2)=3eEa,-3eEa,0,0 这就是说,原来简并在n=2上的4个能级,现在有一个向上移动了3eEa,一个向下移动了3eEa, 还有两个没有移动,简并是部分地消除了。这个结果得到了实验的证实。 作业:习题10.2;10.52 (0) En 只和 n 有关，能级对 l,m 是简并的，在不计电子的自旋自由度时简并度为 2 . n g n = 显然， n =1 时 (0) E1 不简并，并且容易算出 11 0 (1) E1 = H = 。n = 2 时 g2 = 4 ，区分简并态的量子数 l,m （前面记为 i ）可以取值 00, 10, 11, 1−1 ，以下依次简记为 1, 2, 3, 4 。所以我们要计算 (0) (0) 3 (0) (0) 2 2 2 2 2 ˆ ( ) cos ( ) sin . H H d r e r r r r dr d d i i l m lm l m lm                 = =    表面看来我们要算 16 个积分，但是实际上由于对称性的关系其中有 14 个积分是零，剩下两个还相等。 非零的矩阵元是 (0) (0) 3 12 21 200 210 H H e r r r dr d d   = =        ( ) ( ) sin cos .  略去并不困难的计算过程，其结果是 12 21 H H e a   = = −  3 , 其中 a 是 Bohr 半径。所以我们应该求出下面这个矩阵的本征值从而得到 (1) E2 ： 3 3 . ( 0) e a e a H    −      −        =                 显然它有两个本征值是零，另外两个是   3e a ，所以 (1) 2 E e a e a =  −  3 , 3 , 0, 0. 这就是说，原来简并在 n = 2 上的 4 个能级，现在有一个向上移动了 3e a  ，一个向下移动了 3e a  ， 还有两个没有移动，简并是部分地消除了。这个结果得到了实验的证实。 作业：习题 10.2; 10.5