临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 证明:先证 sup AB≤supA·supB 由上确界定义,x∈A,x≤supA,vy∈B,y≤supB,因为x≥0,y≥0,所以xy≤supA·supB,这 说明supA·supB是AB的一个上界,于是 sup ab≤supA·supB. 再证supA·supB≤ sup AB 按上确界定义,ⅤE>0(不妨设E<1),3x。∈A,xo>supA-E,3y。∈B,y>supB-E,于是彐xoy∈AB, 使 xoyo >(sup A-E)(sup B-a 这样就有 sup AB>x,,>(sup A-E)(sup B-a) sup A sup B-(sup A+ sup B)8+a > sup Asup B-(sup A+ sup B+I)a 由于A,B中元素皆非负,因此supA≥0,supB≥0,supA+supB+1>0,于是E'=(upA+supB+1)仍 为一任意小的正数这样证得 sup AB≥supA·supB 由此得到 sup aB=supA·su 五、自测题 选择题:设∫(x)为定义在(-∞,+∞)上的任何不恒等于零的函数,则必为奇函数的是 A F(x=f(x)+ f(x) B F(x)=f(x)-f( C F(x)=f(x)-f(x) D F(x)=f(x)-f(x) 2.解不等式:2x+32x2 3.用定义证明函数(x)=x+1在其定义域中既无上界也无下界 4.设:(1)Φ≠AcRΦ≠BcR; (2)Va∈A,Vb∈B,有a<b; (3)VE>0,3x∈A,y∈B,,使y-x<E;临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 6 - 证明： 先证 sup AB≤sup A·sup B. 由上确界定义，∀x∈ A ，x≤sup A，∀y∈ B ，y≤sup B，因为 x≥0，y≥0，所以 xy≤sup A·supB，这 说明 sup A·sup B 是 AB 的一个上界，于是 sup AB≤sup A·sup B. 再证 sup A·sup B≤sup AB. 按上确界定义，∀ε > 0（不妨设ε <1），∃x ∈ A, x > sup A − ε ,∃y ∈ B, y > sup B − ε 0 0 0 0 ，于是∃x0 y0 ∈ AB ， 使 (sup )(sup ) 0 0 x y > A − ε B − ε . 这样就有 sup AB ≥ (sup )(sup ) 0 0 x y > A − ε B − ε ， = 2 sup A·sup B − (sup A + sup B)ε + ε > sup A·sup B − (sup A + sup B +1)ε 由于 A，B 中元素皆非负，因此 supA≥0，supB≥0，supA+supB+1>0，于是ε ′ = (sup A + sup B + 1)ε 仍 为一任意小的正数.这样证得 sup AB≥sup A·sup B. 由此得到 sup AB = sup A·sup B. 五、自测题 1. 选择题：设 f (x) 为定义在(−∞,+∞) 上的任何不恒等于零的函数，则必为奇函数的是： A F(x) = f (x) + f (−x) B F(x) = f (x) − f (−x) C F(x) = f (−x) − f (x) D F(x) = f (x) − f (−x) 2. 解不等式： 2 2x + 3 ≥ x 3. 用定义证明函数 1 1 ( ) + = x f x 在其定义域中既无上界也无下界。 4. 设：⑴ Φ ≠ A ⊂ R, Φ ≠ B ⊂ R ； ⑵ ∀a ∈ A,∀b ∈ B ，有 a < b； ⑶ ∀ε > 0,∃x ∈ A,∃y ∈ B,，使 y − x < ε ；