·180 北京科技大学学报 1995年No.2 证：不失一般性，设X对应的单纯形表为： X RHS X Xn Xm+1 Xm+k X. S yo 0 0 y0m+1 … yom+k yon XI y10 +4 0 y:m+1 y1m+素 yin … 七n J'mo 0 ymm+l ym前+k … ymn (1)已知yo<0,j=m+1,…,n,对任意可行解X=(x,,x),只要X≠，则 至少有一个x>0,j=m+1,…,n, 5-yo-2yop=yo j-mt 因此，X是(Lp)的唯一最优解，当然也就无最优极方向· (2)设yam+k=0,且min 0:4>0=y0>0.则以t为主元换基 yimtk y1m+ 得另一基本可行解X=(x,…,x),其中x变为非基变量，所以有X≠X” (3)设yo=0,j=m+1,,m+k;y0<0,j=m+k+1,,n.如果线性不等式组 三0 i=1,…,m (4) 有不全为零的非负解： x=y,j=m+1,…,m+k 则： d=(3gw2m0,0r 为D的极方向.且cd=三o以，=0.即d是(Lp)的最优极方向. 下面指出线性不等式组(4)是否有不全为零的非负解的几种明显的情况（并不是 全部情况)： 情况a若对某个i,yg>0,j=m+1,…,m+k;或存在{m+L,,m+k}的一个子 集R,有y=0,jeR,y>0,j∈{m+1,…,m+k}\R,而对某个1≠i有y>0,j∈R,则 不等式组(4)只有零解，即(Lp)不存在最优极方向· 情况b若有{m+1,,m+k}的某个非空子集R,使，≤0，i=1,2…m.则(Lp ER 有最优极方向d=(y,…,y)T. A,1=12,m 其中，y=了1 iER 0 ie{m+l,…,m+k}\R 例1，设(Lp)为： min S=5+x8 s.t.X +X5 -2xg=1 X2 +x5+x6+2x,+xg=2北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 5 年 N O . 2 证 : 不 失 一 般性 , 设 X0 对应 的 单 纯 形 表 为 : X a R H S S 夕0 0 … 0 夕。 , 十 l … 夕。川 + * ” ’ 夕。 。 o y 一, 十 l x , 夕。 0 0 ( l) 已 知 y oj < 0 , j 二 m + 工 , … , 。 , 对 任 意 可 行 解 Xl = (川 , … , 式) T , 只 要 Xl 笋尸 , 则 至少 有 一个 对> 0 , j = 。 + 1 , … , ” , 故 月 S 一 y 。 挥 + , y 。 , X : > y 。 因 此 , X0 是 ( L p ) 的 唯 一 最 优 解 , 当然 也 就 无 最 优 极 方 向 ( 2 ) 设 , 。 , + * 一 。 , 且 、 n }~ : , , . 十 * , 。不 - ( y 、二 + k J y 一, + k 得 另 一 基 本 可 行 解 Xl = x( } , … , 式) T , 其 中 川 变 为 非 基 变 量 , ( 3 ) 设 夕0j = o , j = 。 + l , … , m + k ; 夕。, < o , j = 川 + k + l , > 0 . 则 以 夕1 , + * 为 主 元 换 基 所 以 有 X , 并尸 . … , n . 如 果 线 性 不 等 式 组 龙 “ , “ ’ , 次 ( 4 ) 了 = m + l y ` ] x , 蕊 0 有 不 全 为 零 的 非 负 解 : x , = y , j = 川 + l , … , m + k d = ( 一 艺 产 lj y , , ” ” m + k , 一 菩 + 产 , 了 y , , , 川 · 1 , 一 y 川 + * , 0 , … , 0 ) J = 用 + 为 ” 的 极 方 向 · 且 cd 一 , 一 菩 + l yoj yj 一 O · 即 “ 是 ( L ” ’ 的 最 优 极 方 向 · 下 面指 出 线 性 不 等 式 组 ( 4) 是 否 有 不 全 为 零 的 非 负 解 的 几 种 明 显 的 情 况 (并 不 是 全 部 情 况 ) : 情 况 a 若 对某 个 i , y 。 > o , j 一 m 十 1 , … , m + 从 或 存 在 { m + 1 , … , m + 日 的 一 个 子 集 R , 有 iy , 二 0 , 厂 R , 只 , > 0 , j 任 { 。 + 1 , … , 。 + 料 \ R , 而 对某 个 l 笋 i 有 y 。 > 0 , j 任 R , 则 不等式 组 ( 4) 只 有 零 解 , 即 ( L p ) 不 存 在 最 优 极 方 向 . 情 况 b 若有 有 最 优极 方 向 d = m + l , … , , + 、 } 的某 个非 空子 集 尺 , 使 艺夕。 簇 o , i = 1 , 2 , … , m . 则 ( L p ) ( y l , … , 夕 。 ) T . y o i 二 1 , 2 , … , 次 i任 R i任 王。 + l , … , 。 + k } \ R 011 艺尽 丈`l之 其 中 y 一 例 l , 设 ( L p ) 为 : m i n s = 5 + x s x l + x s 一 Z x s = l x Z + x s + x 6 + 2 x 7 + x s = 2