bn-÷b2n+ln2 由 lim b=y,得到 由于inS3n1=limS3n+2=imS3,所以 n→ lim s In 2 15.利用级数的 Cauchy乘积证明: )(∑)=+ (|q|<1) 解(1)设∑∑二=∑n,则=1,且当n≥1时, ∑ (-1)1 ∑ l)=-(1-1)”=0 +=n几ml+厂=ml月 所以 (2)设∑q1∑q=∑c,则 ∑(qq/)=(n+1)q 又由于<1,所以∑q ,从而得到 q ∑q|>q|=∑(n+1 (q<1) qln 2 2 3 2 1 2 1 S3n = b4n − bn − b2n + 。 由 = γ →∞ n n lim b ，得到 ln 2 2 3 lim 3 = →∞ n n S 。 由于 + = ，所以 →∞ 3 1 lim n n S + = →∞ 3 2 lim n n S n n S3 lim →∞ ln 2 2 3 lim = →∞ n n S 。 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1) ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1； (2) ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q (｜q｜＜1) 。 解 （1）设∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n ∑ ∞ = = n 0 n c ，则c0 = 1，且当n ≥ 1时， ∑ + = ⋅ − = i j n j n i j c ! ! ( 1) j i j n i j n n ( 1) ! ! ! ! 1 − ⋅ = ∑ + = (1 1) 0 ! 1 = − = n n ， 所以 ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1。 （2）设 ⎟ = ，则 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ n=0 n c n i j n i j cn = ∑(q q ) = (n +1)q + = 。 又由于 q < 1，所以 q q n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 ，从而得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q =∑ = ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q ( q < 1)。 10