教学内容安排 《经典力学数学名著选讲》(有关微积分的深化),至今已有十轮次的教学研究与实践,现确定的主要 内容分三个部分,概述如下。 第一部分一般赋范线性空间上的微分学讲授4学时/次,共5次 将有限维 Euclid空间之间向量值映照的微分学推广到一般赋范线性空间之间映照的微分学,主要包 括 1.赋范线性空间之间映照的极限,涉及 Cauchy叙述, Heine叙述,当值域空间完备时,又有 Cauchy 收敛原理;作为局部行为的连续性,完全在一般极限理论框架下作为个案处理;复合映照极限定理, 强调非接触性条件。 2.基于极限观点,研究导数,现导数为定义域空间同值域空间之间的有界线性算子,此处赋范有界算子 空间及其基本性质作为一般赋范线性空间的事例加以研究;引入“抽象张量”理解高阶导数,深入理 解高阶导数通过高阶方向导数的计算理论;有限增量估计,需要基于线段上的闭区间套定理,处理思 想及方法不同于有限维 Euclid空间中的处理;混合方向导数交换次序的 Schwartz定理;可微性的一 个充分性条件。复合映照导数或微分的计算,包括抽象形式的链式求导法则等。 3.无限小增量公式及其在极值点相关方面的应用 4.基于完备赋范线性空间中有界闭集上的压缩映照定理,直接证明一般赋范线性空间上的隐映照定理及 逆映照定理;隐映照定理及逆映照定理间的相互导出。此部分处理的基本思想及方法,甚至细节都 致与有限维 Euclid空间中的处理。回顾m维 Euclid空间中k维曲面的相关认识,积极寻求现有理 论在相关领域的应用。进一步的学习与研究反映,隐映照定理及逆映照定理对后续知识体系的发展具 有根本性的作用,所以对相关基本理论的掌握显得十分重要,个人认为只有掌握细节才能得以深入理 解理论并加以灵活应用 5.完备度量空间中的压缩映照定理;相关理论在动力系统研究中的应用 6.泛函临界点的计算理论/变分计算,包括按可微性定义以及方向导数二种处理方法;获得 Lagrange函 数之积分(泛函)的临界点所满足的 Euler- Lagrange方程,包括含高阶导数情形以及高维情况;具 体应用事例 有限维 Euclid空间上的微积分以向量值映照为基本研究对象,亦即所研究对应关系其自变量与因变 量都含有若个数。然而,我们在生产实践中往往需要研究自变量为函数的对应关系——藉此,我们需要理 解与掌握自变量与因变量都可以是一般赋范线性空间中元素的对应关系的微分学,亦即一般赋范线性空阃 上的微分学。 我们研究发现,有限维 Euclid空间中的微分学与一般赋范线性空间上的微分学具有高度的知识点甚 至知识要素构成上的“相似性”,主要包括:①映照的极限;②映照的可微性;③映照的高阶导数;④ 无限小增量公式;⑤有限增量公式;⑥隐映照定理;⑦逆映照定理。一一我们基于“相似性”设计了“有 限维 Euclid空间上的微分学”与“一般赋范线性空间上的微分学”的讲授方式,使得很多概念、结论与 分析方式都具有高度的相似性。就此,我们建立一般赋范线性空间上微分学的过程相对于建立有限维 Euclid空间上微分学的过程具有“温故而知新”的效果。 第二部分有限维 Euclid空间中微分同胚的深化理论讲授4学时/次,共2次 相关知识体系归纳为“有限维 Euclid空间上微分同胚的局部存在性及其应用”,具体包括 1.微分同胚的局部存在性定理(逆映照定理) 2.通过构造局部微分同胚证明:秩定理, Morse定理, Frobenius定理等。 3.相关理论的应用,包括:函数组的相关性,动力系统的首次积分等。教学内容安排： 《经典力学数学名著选讲》（有关微积分的深化），至今已有十轮次的教学研究与实践，现确定的主要 内容分三个部分，概述如下。 第一部分 一般赋范线性空间上的微分学 讲授 4 学时/次，共 5 次 将有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学推广到一般赋范线性空间之间映照的微分学，主要包 括： 1. 赋范线性空间之间映照的极限，涉及 Cauchy 叙述，Heine 叙述，当值域空间完备时，又有 Cauchy 收敛原理；作为局部行为的连续性，完全在一般极限理论框架下作为个案处理；复合映照极限定理， 强调非接触性条件。 2. 基于极限观点，研究导数，现导数为定义域空间同值域空间之间的有界线性算子，此处赋范有界算子 空间及其基本性质作为一般赋范线性空间的事例加以研究；引入“抽象张量”理解高阶导数，深入理 解高阶导数通过高阶方向导数的计算理论；有限增量估计，需要基于线段上的闭区间套定理，处理思 想及方法不同于有限维 Euclid 空间中的处理；混合方向导数交换次序的 Schwartz 定理；可微性的一 个充分性条件。复合映照导数或微分的计算，包括抽象形式的链式求导法则等。 3. 无限小增量公式及其在极值点相关方面的应用。 4. 基于完备赋范线性空间中有界闭集上的压缩映照定理，直接证明一般赋范线性空间上的隐映照定理及 逆映照定理；隐映照定理及逆映照定理间的相互导出。此部分处理的基本思想及方法，甚至细节都一 致与有限维 Euclid 空间中的处理。回顾 m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的相关认识，积极寻求现有理 论在相关领域的应用。进一步的学习与研究反映，隐映照定理及逆映照定理对后续知识体系的发展具 有根本性的作用，所以对相关基本理论的掌握显得十分重要，个人认为只有掌握细节才能得以深入理 解理论并加以灵活应用。 5. 完备度量空间中的压缩映照定理；相关理论在动力系统研究中的应用。 6. 泛函临界点的计算理论/变分计算，包括按可微性定义以及方向导数二种处理方法；获得 Lagrange 函 数之积分（泛函）的临界点所满足的 Euler－Lagrange 方程，包括含高阶导数情形以及高维情况；具 体应用事例。 有限维 Euclid 空间上的微积分以向量值映照为基本研究对象，亦即所研究对应关系其自变量与因变 量都含有若个数。然而，我们在生产实践中往往需要研究自变量为函数的对应关系——藉此，我们需要理 解与掌握自变量与因变量都可以是一般赋范线性空间中元素的对应关系的微分学，亦即一般赋范线性空间 上的微分学。 我们研究发现，有限维 Euclid 空间中的微分学与一般赋范线性空间上的微分学具有高度的知识点甚 至知识要素构成上的“相似性”，主要包括：① 映照的极限；② 映照的可微性；③ 映照的高阶导数；④ 无限小增量公式；⑤ 有限增量公式；⑥ 隐映照定理；⑦逆映照定理。——我们基于“相似性”设计了“有 限维 Euclid 空间上的微分学”与“一般赋范线性空间上的微分学”的讲授方式，使得很多概念、结论与 分析方式都具有高度的相似性。就此，我们建立一般赋范线性空间上微分学的过程相对于建立有限维 Euclid 空间上微分学的过程具有“温故而知新”的效果。 第二部分 有限维 Euclid 空间中微分同胚的深化理论 讲授 4 学时/次，共 2 次 相关知识体系归纳为“有限维 Euclid 空间上微分同胚的局部存在性及其应用”，具体包括： 1. 微分同胚的局部存在性定理（逆映照定理） 2. 通过构造局部微分同胚证明：秩定理，Morse 定理，Frobenius 定理等。 3. 相关理论的应用，包括：函数组的相关性，动力系统的首次积分等